Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Das Lelirgebalude der Trigonometrie. Versuche einer Begriindung dess. 429

-eben erwhiihten Einfifihrung von sinec hatte sich Eulers Formel,cos a sin b ==cos b sin a cos C + sin c cos A ergeben;. indem er nun in
dIieser a mit b und foiglich auci A mit B vertauselite und den hierdurch erhaltenen Ausdruck fUr cos b sin a in sie einfiihrte, ergab sich
mnit Hillfe der Beziehung sin c = sin b sin C: sin B leiclit der Kosinussatz ffir die Winkiel als vierte Hauptgleichung. Obwohl diese Formein
genilgen, wie Lagrange sagt, urn alle auf sphiuirische iDreiecke beztIglichen Aufgaben zu I1isen, so leitet er dennoch aus ihinen die bekaunten 6 Gleichungen Mlr das reclitwinklige Dreieck sowie die
Siitze zur Bestinimung der Seiten aus den Winkein und der Winkel aus
den Seiten ab uind verschafft sich die Nepersehen Analogien, indeini
er in beiden Fiillen auch das Supplementardreieck verwendet.
Da Lagraugyes Arbeit unmittelbar an De Guas Gedanken anknflpfte, mulften wir ihre Besprechu-ng gleich hier anf~igen urid
k6nnen erst nachtrdglieh inoch auf eine Abliandlung des uns schon
bekanuten Schubert hinweisen, die scion 1796 erschienen war') und.
denselben Gegenstand behandelte, ohne jedochi jener Lagranges ani
Ilbersiclithlcikeit, Eiufachheit und Elegranz gleiclizukommen. Fried -
rich Theodor Schubert (1758-1825'), geboren] zu Helmstiidt, begaun seine Tiitigkeit als ilauslehrer, wurde dann Revisor des hapsalschen Kreises in Esthiand, beschiiftigte sich aber hauptsiichlich mit
geographischen uend astronomischen Studien, die ilini die Pfoiten der
Akademie in Petersburg erbiffneten, woselbst er Aufseher der Bihliothek und des Mllnzkabinetts dieser Anstalt wurde, Stellungen, die er
bis zu seinem Tode inne hatte. Alit den Sebriften der Alten wolilv-ertraut kam er auf den Gedanken, aus dem Satze des Menelaus').
mit dem schoil Pt ole mdius die sphiirische Trigonometrie behandelt
hatte, das ganze bekannte Formielsystem der Trigonometrie abzuleiten.
Zun'dchst gewann er aus diesem Theorem die 6 Foruieln fair die
rechtwinkligen sphiirischen Dreiecke 3), dann den Sinussatz und durch
bestiindige Anwendung der gefundenen Formeln auf die Figur jenes
Transversalensatzes von M en ela us die b eiden Kosinusregeinu, aus,denen sich dann als einzige noch notwendige Regein die Formel
sin AI sine
tgCsin b cos c - co sb sinc cos.A
und. ihre polare ergaben. Auch dieses schiine System gruiidet die
ganze sphiirische Trigonometrie auf einen ei-uzigen Satz, die hierzu
notwendigen Rechnungen stehen aber jenen Lagrange s an Einfachheit bedeutend nach. Beachtung hat dasselbe wenig gefunden.
1)Trigonometria spliaerica e Ptolemaeo. Vorgelegt am 22. Dezeinber 1796,
publiziert 1801 in Nova Acta Acad. Petrop. -XII, p. 165-175. 2) Vgl. dieses
Werk I2, p. 386. ') Vgl. 12, p. 392-393.