Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Die Ausbildung der Trigonometrie durch Euler unci dessen Zeitgenossen. 415
bp= Cb sin C =tg asin C und Cp ==Cb -cos C =tg acos C;
und da <)C Ca 0 == 900 - b ist, so folgt noch:,ap= Ca-Cp=-tgb-tgaeosC`, pq==apeosb==sinb-tgacosbcosC
und
sin b2 c
(kq ~ap sinb -tgya sin bcos C oder co cos b +tg asin bcos C
cos b cos a
und bieraus endlich
cos c =cos a cos b 4- sin a sin b cos C.
Ahunlicb liest man aus der Figur unmittelbar die Gleichung des SinussinC sin A
satzes = iaund die in dieser Form netie Gleichung
cosq-cos asin b- sin acos bcos C
bq sinec
ab. Diese drei Gleichungen umifassen, wie E ule r sagt, die ganze
spliarisehe Trigonometrie, und in der Tat gelang es th-in durhelinefache Rechnung aus ihnen alle jene Formein abzuleiten, die heute den
eisernen Bestand der sphUirischen Trigonometrie bilden.
Auch die Existenz, und die Eigenschaften des Supplemnentardreiecks, ftir das E ul er jedoch keinen eigenen Narnen hat, wurden in,
ejuem,Theoremna" hervorgehoben, wiihrend eine Nebeneinanderstellung der Polarformein nur fair die Kosinus- und Kotangentensitze
dlurchgefiihrt wurde - in diesem Punkte war Kitigel bereits weiter
gegangen. Dagegen erkannte Euler hier zuerst die sechs mdglichena
Formen der dritten Hauptgleiehung, das Prinzip der zyklischen Vertauschung aber war ihin, wie seine Formelschreibung zeigt, entgangen.
E ule r hat von semnen trigonometrischen Form el den vielseitigsten Gebrauch gemacht in rein mathematischen und miechanisehen,
wie in astronomischen und physikalischen Untersuchungen. Wir
wollen hier auf die wichtigsten hinweisen, die zur ersten Gruppe gelidren. lIn den Petersburger Akten ffir das Jahr 17781) hatte er
bereits, gezeigt, wie man die trigonometriseheni Funktionen z-ur Lisung
einiger schwieriger diophantischer Gleichungen benutzen kiinne uind
ebenda 2) eine Abhandlung fiber die Messung der Kdrperwinkel durch
die Inhaltsbestimimung sphirischer Figuren gegeben, bei weicher Gebreviter et dilucide derivata. Acta Acad. Petrop. 1779 (ersehienen 1782), 1,
p. 72-86.
1) De casibus quibusdam maxime menmorabilibus in Analysi indeterminata
etc. Acta Acad. Petrop. ad annum 1778, pars II (erschienen 1781), p. 85-110.
2) De mensura anguloruma solidorurn. Ebenda, p. 31-54.