Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Parallelenlebre.39

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k~nnte, so ki~nnte man aus ihr den Ausdruck der Grdl& _p ableiten
in der Abhdngigkeit von den A, B, C, woraus folgen wiirde, daB die
Seite _p einer Zalil gleich sein wiirde, was absurd ist. Also kann die
Funktion (p die Seite p niclit enthalten, und foiglich ist C = p
(A,~ B).
Diese Formel weist gerade darauf hin, daB wenn zwei Winkel
insDreiecks zwei Winkein eines andern Dreieeks gleich sind, so
auch die dritten Winkel gleici sind. Wenn aber das bewiesen ist, so
ist es nicit sciwer, audi das Theorem selbst ilber die Gleiciheit der
Summe der Winkel eines IDreiecks mit zwei Reciten zu beweisen.
Zuerst nelimen wir emn recitwinkliges Dreieck ABC mit dem,
rechten Winkel bei A und fiilen emn Perpendikel AD von diesem
Punkt A auf die Hypotenuse. Dann werdenB
die Winkel B und D des Dreiecks A BD den D
Winkein B und A des Dreiecks BA C gleich
sein, und foiglich wird, naci dem. eben Be-A
wiesenen, der dritte Winkel BAD dem. dritten A ig 16
Winkel C gleich sein. Auf Gru-nd derselben Erwiiguugen wird der Winkel DA C == B sein, und folgliciB AD +DA C
oder BA C = B -F C. Aber der Winkel BA C ist emn reciter, foiglich
werden die beiden spitzen Wiukel eines reclitwinkligen Dreiecks zusammen eiuen rechten Winkel bilden.
Nehmen wir jetzt irgeud emn Dreieck BA C, in dem, die Seite B C
nicit kieiner ist, als jede der beiden andern Seiten. Wenn wir von
-dem, Scheitel des Winkels A, der der Seite A
BC gfegenu-berliegt, auf diese Seite der
Perpendikel AD fiillen, so wird dieses
Perpendikel im, Innern des Dreiecks BA C
-verlaufen und dasselbe in zwei recht- BC
'winklige Dreiecke BAD, D AC teilen.B
Fig. 17.
1m. ersten werden die beiden Winkel
BAD und ABD ei-nen rechten Winkel bilden, ebenso auci im
zweiten die beideno Winkel DA C, A CD. Bei der Ver einigungr
jedoci aller dieser vier Winkel werden sie die drei Winkel bilden
BA C, A B C, A CB, oder ebenfalls zwei Recite. Also ist die Summe
der Winkel in jedem, Dreieck zwei Reciten gleici.
Die Hauptarbeit in der Theorie der Parallellinien in der zweiten
Huilfte des 18. Jalirhunderts und, wenn man die Arbeit von
Saccheri ausschlie~t, audi in der ganzen vorhergehenden Zeit, war
das Werk L am be r ts,,heorie der Parallellinien" 1). Es war scion

1) Magazin fuir die reine u-nd angewandte Mathematik, herausgegeben von