Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XXII.

Die Voraussetzung, von der man ausging, erweist sich auf diese Weise
als absurd, foiglich kann die W inkelsumme des Dreiecks ABC nieht
gr5Ber als zwei Rechte sein.
Dem zweiten Satze gab L egendre den Beweis, dessen Mangel-.
haftigkeit er spiiter selbst anerkanute I), indem er sagte, daB,,dieser
zweite Satz, obwohl das Prinzip seines Beweises gut bekannt ist, una
Schwierigkeiten steilte, die wir niclit vollends beseitigen konnten"'.
Zu Legendres Versuchen des direkten Beweises des Satzes tiber
die Gleichheit der Summe der Winkel eines Dreiecks mit zwei Rechten
ist auch der Beweis dieses Satzes zu rechnen, weicher in der ersten
Ausgabe der,,Elements de geometrie" angefflhrt wird, obwohl er auch
nicht mit der Absicht gegeben war, diesen Satz als Grundsatz der
Theorie der Parallellinien anzugeben. Ungeachtet dessen, daB dieser
Beweis in dem eben angefiihrten Memoire von L eg en dr e 2) wieder-.
holt war, befriedigte er den Autor niclit, weil er sich nicht mit dem,
Gebrauche der Mittel begniigte, die vom. ersten Buche der Elemente
des Euklid geboten wurden, und teils synthetiseb, teils analytisch war.
Hier ist dieser Beweis.
Indem, wir unmittelbar durch Auflegung ohne Anwendung irgend
eines vorliufigen Satzes beweisen, daB zwei Dreiecke kongruent sind,
wenn sie U~bereinstimmen in einer Seite und den beiden anliegenden
Winkein, bezeichnen wir die erwitinte Seite mit dem Buchstaben p,
die ihr anliegenden Winkel mit A und B und den dritten Winkel
mit C. Es ist n~tig, daB der Winkel C voilkommen bestimmt ist
im Falle, wenn die Winkel A und B und die Seite _p bekannt sind,
weil im. andern Fall den drei gegebenen Griien A, B, _p einige
Winkel C entsprechen kdnnten und es ebenso viel versehiedene Dreiecke geben wiirde, die tibereinstimmen in einer Seite und den beiden
anliegenden Winkein, was unm~glich ist. Also muB der Winkel C
eine bestimmte Funktion der drei Gr8iBen A, B, p sein, was auf
folgende Weise dargestellt werden kann C == q (A, B, p).
Wenn als Einheit der rechte Winkel genommen wird, so werden
die Winkel A, B, C durch Zablen ausgedrtickt werden k~innen, die
zwischen 0 und 2 liegen; da aber C =- (p (A, B, p), so erhalten wir
die Mizglichkeit zu bebaupten, daB die Funktion qp die Linie p niclit
enthalten kann. Und wirklich, wenn dank der Eigenschaft des C
durch die gegebenen Gro"13en A, B, p allein vollkommen bestimmt
zu werden, irgend eine Gleichung zwischen A, B, C, p existieren
') L e g e n d r e, R~flexions suir diff~rentes mani~res de de'montrer la, th~orie
des paralle'les ou le th~or~me suir la somme des trois angles du triangle.
Me'moires de I'Acade'mie Royale des sciences de l'Institut de France XII (1833),
p. 371. ~~ Ebenda, p. 372-374.