Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Parallelenlehre.

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maclit rind sodann die entsprechenden Puinkte durire die Linien DE uind
BD verbindet, so bekommt man ein Dreieck CDE, das gleich dem
Dreieck ABC ist, da sie tibereinstimmen, in zwei Seiten und dem
einge~;chlossenen Winkel. Aris der Gleichheit dieser Dreiecke folgt,
daB der Winkel CED =A CB ist, der Winkel ODE ABC rind
die dritten Seiten ED rind BC gleich sind. Da die Linie ACE eine
Gerade ist, so ist die Summe der Winkel A CB, BOD rind DOE
zwei Reebten gleich, rind folglich laut der Yoraussetzung, daB die
Winkelsumime des Dreiecks ABC gr8fier als zwei Rechte ist,
CAB +ABC + BCA > A CB +BCD~+DCE.
Indem man von beiden Seiten dieser Unagleichheit den gemeinsamen
Winkel A CB subtrahiert und ebenso die gleichen Winkel CAB und
ECD, bekommt man
ABC > BOD;
rind da die Seiten AB rind BC des Dreiecks ABC gleich den entsprechenden Seiten CD rind OB des Dreiecks BCD sind, so wird die
dritte Seite A C gr~ier als die dritte Seite B'D sein. Werin man sich
danach die Linie AE als unbegrenzt verliingert denkt, ebenso die arif
ihir konstruierte Reihe von gleichen rind, dhihnich liegenden Dreiecken
ABC, ODE, EFG, GHJ risw., so wird zu. gleicher Zeit drirch die
Verbindring der anliegenden Spitzen dnrch die Geraden B'D, DI; FH,
HK risw. eine Reihe dazwischen liegender Dreiecke BOD, DEE,
EGH risw. erhalten, die alle, untereinander gleich sein werden, als
solche, die fibereinstimmen in zwei Seiten rind dem eingeschlossenena
Winkel. Aus der Gleicliheit dieser Zwischendreiecke folgt, daB
BD ==D F=- FH == HK nsw.
Weil A C> BD ist, sei die Differenz zwischen ihnen A C- BD = D.
iDanri wird 2 D die Differenz zwiscben der Geraden A CE, die gleich
2 AC ist, nnd der geraden oder der gebrochenen Linie BD F sein,
die gleich 2 BD ist rind ebenso A G -BH = 3D, A J- BK = —4D rsw.
Aber wie, klein arich die Differenz D wiire, ist es augenseheinlich,,daB sie, genfilgend wiederholt, griier werden kann, als irgend eine
m~gliche gegebene Gr6Be, infolgedessen kann man immer vora-us~setzen, daB die Reihe der Dreiecke so weit fortgesetzt ist, daB
AP -BQ >2AB oder AP >BQ-i —2AB.
Andererseits jedoch dieser Folgerring widerspreche-nd, mnB die Gerade
AP kiirzer sein als die gebrochene Linie ABQP, weil sie mit ihr,die gemeinsamen Endpnnkte A rind P hat, d. h. es muB immer sein
AP <AB +BQ +QP oder AP <BQ~+2AB.