Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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396 ~~~~~~Abschnitt XXII.

emn spitzer und der andere emn stumpfer ist, so ftihrt er dessen Beweis direkt auf den ersten Fall zurlick. Der Beweis, den G urief'
dem ersten Fall gab, weleher den Fall darstelit, den L e gend re Zn
beweisen versuchit, wurde Gurief dureli das Durelisehen der Arbeit
des letzteren eingefhlbft, wie er es selbst eingesteht, indem er mit dem
ihim eigenen Eigendflnkel sagt:,,Wie selhwach und unbegriindet dieser
Beweis des llerrn Legendre auch sei, er gab mnir die Gelegenheit
diese Sadie zu beendigen, auf die so viel Millie verwandt worden ist,
wie im Altertum, so auch in der nenen Zeit, von den berilihmtesten
MAnnern."') Dieser Beweis ist ebenso ungenau, wie der Beweis Legendres, weil Gurief unbemerkbar fdr sici selbst denselben Fehltritt getan hat wie Legendre.
Indem Legendre von der Kritik Guriefs keine Vorstellung
hatte, da dieselbe in russiscier Spracie ersehien, war. er selbst von
seinem Beweise niclit befriedigt. In der dritten Ausgabe seiner,,Elements", die im Jalire 1800 ersehien, ebenso audi in allen folgenden his zur achiten einschlieBlich, bewies er an Stelle des Satzes, den
er als Grundsatz der Theorie der Parallellinien in der ersten Ausgabe
aunalim, scion einen anderen, namlich den Satz von der Gleicliheit
der Winkelsumme eines Dreiecks mit zwei Rechiten, welcher infolge
seines engen Zusammenhanges mit der Theorie der Parallellinien als
Grundsatz dieser Theorie ebenso streng angenommen. werden kann,
wie der erstere Satz und wie die fiinfte Forderung selbst.
Nach einer Reihe miBlungener Versuche, den direkten Beweis
dieses Satzes zu linden, war L egendre gezwungen bei dem indirekten
Beweise stehen zu bleiben, n~imlich bei den Siitzen,7 dalB die Winkelsumme eines Dreiecks nicht gri513er sein kaun als zwei Recite, und
daB dieselbe Summe nicit kleiner sein kann als zwei Recite. Ffir
den ersten dieser Siitze gab er folgenden vollkommen strengen Beweis.
Wenn es mo-glich ist, so sei das Dreieck ABC emn solcies, bei dem
_B D F 11 KC M 0 Q
A c E G Jf L 2W P
Fig. 15.
die Winkelsumme gr~5er als zwei Recite ist. Indem man dann auf
der Veriliangerung von AC die Strecke CE == AC nimmt, den Winkel
ECD ==CAB konstruiert, auf seiner Seito die Strecke CD ==AB

') Versueli einer Vervollkonmnuung der Eleniente der Geometrie, S. 190.