Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XXII.

auf irge-nd einen Punkt der Linie AJ fallen. Auf Girund derselben
Erwiigungen kann man weiterhin behaupten, daB der FuBpunkt 111
des Perpendikels, der auf die Gerade AB von dem Punkte C aus gefiillt ist, nicht in den Punkt G fallen kann und nicht in irgend einen
anderen Punkt der Linie UL, da der Punlkt C auf der Geraden AC
in der Eutfernung AC, die AF iibertrifft, genommen ist. Ebenso
kann auch der Ful~punkt N des Perpendikels, der auf die Gerade AB
von dein Punkite T aus auf der Geraden A C in der Entfernnng von
A P genommen, die A C iibertrifft, geflult ist, nicht auf den Punkt
iii nicht auf irgend einen anderen Punkt der Linie ML fallen usw.
Also kdnnen die FuBpunkte 11~ N nsw. der Perpendikel sich nur
bez. auf den Linien GeT, 11f usw. befinden auf lEntfernungen vom
Pnnkte A, die bez. die Entfernungen A G, AMil usw. Uibertreffen. Auf
diese Weise werden nach der allmahliehen Entfernung der Punkte der
Linie A C vorn Punikte A,7 von denen Perpendikel auf die Linie A B
gefNHt werden, auch diese Perpeudikel sici vom Punkte A entfernen.
Dabei eine Greuze der Vergrbi1erung des Abstandes (z. B. A N) des
Ful~pun'ktes des Perpendikels vom Punkte A bei der gleicizeitigen
Yergr6Berung des Abstandes vom Punkte A desjenigen Punktes (z. B.
Pvon dem das Perpendikel gefiillt ist, vorauszusetzen, waire absurd.
IUnd wirklich, neimen wir an, daB das letzte oder das am meisten
vom Punkte A entfernte Perpendikel ClMf sei, so k~innten wir, indem
wir auf der Venlingerung von A C den Punkt P nehmen warden, auf
dieselbe Weise, wie auci frijber, beweisen, daB der FuBpunkt des
Perpendikels PN auf die Liniie 11f fallen muB und foiglich von A
auf einer Entfernung, die die Entfernung AMl iibertrifft, sein muB,
was der Yoraussetzung widerspricht. Also k~nnen die Ful~punkte der
Perpendikel, die von den versehiedenen Punkten der Linie A C ans
auf Af gef~lht sind, in beliebig groBen Entfernungen vom Punkte A
liegen, folglich wird auci unter ihinen emn soldier FuBpunkt sein, der
mit B zusammenfallen wird, oder, was dasselbe ist, das urn entsprechiende Perpendikel wird mit BD zusammenfallen, woraus direkt
folgt, daB die Linien A C und BD bei genilgender Verilingerung emiander treffen werden.
Dieser Beweis ist nicit genau, da die Behauptung von der Absurdit'ait der Voraussetzung, daB3 es eine Grenze der Entfernung giibe
zwiscien dem FuBpunkt des Penpendikels und dem Punkte A, nlicit
ricitig ist. Und diese Ungenauigkeit ist der Aufmenksamkeit der
Zeitgenossen nicht entschIipfL. Gunrie f hat scion in semner oben enwiIhnten kritischen Analyse der,Eheiments" von L e gen d re folgende
Einwiainde diesbeziiglici gemaclit. 1) Weun auch zusammen mit der
1) Versuch einer Vervollkommnung der Elemente der Geometrie, S. 189-190.