Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Parallelenlehre.

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zn einer unendilichen Geraden KG. Also wie klein emn Winkel auch
sein wird, er wird immer den Teil einer Ebene iibertreffen, weleher
eben mit dem Ausdruck,,Streifen" bezeichinet worden ist. Die Behauptung, daB emn Streifen einen Winkel enthijit, sehlieilt foiglich
einen Widerspruch eim. Ebenaso schlieft aueh die Behauptung eine-n
Widerspruch emn, daB zwei Gerade, welehe von einer dritten Geraden
derart geselinitten werden, daB3 die Summe der i-nneren Winkel, weiche
auf derselben Seite der selineidenden Geraden liegen, zwei Recbte
nicht betriigt, sich bei der Verliingerung auf der Seite, wo diese
Summe kleiner als zwei Rechte ist,7 nicht treffen werden.
Einer groBen Bekanntheit, die die Bekanntheit der angefibhrten
Beweisfifihrung B ertran ds bedeutend iibertraf, erfreuten sich die demselben Gegenstand gewidmeten Arbeiten L egendres hauptsdchlich
dank der Verbreitung seiner Elements de geomdtrie, in denen er sie
anbrachte. An Stelle der ffinften Forderung selbst bewies er in diesen
semnen Arbeiten einige anadere Siitze, auf denen die ganze Theorie der
Parallellinien ebenso streng begriindet werden konute, wie auf diese
Forderung. Bin soldier Satz war in der ersten Ausgabe der,Eiel6 -ments" im Jahre 1794 der folgende: Wenn die gerade Linie BD das
Perpendikel zu AB ist und
eine andere Gerade A C mit
derselben Linie AB einen t
spitzen Winkel BA C bildet,
so begegnen sich die LinienP
A C und BD bei genilgender c
Yerliingerung. Legendre
beweist diesen Satz auf folgende Weise: Der Punkt G, L
der Ful~punkt des Perpendikels, der auf die Gerade A B Fig. 14.
von irgend einem Punkte
F auf der Linie A C gefallt ist, kann niclit auf den Punkt A fallen,
noch auf irgend einen anderen Punkt auf der Linie AL. Die erste
Yoraussetzung ist unm~iglich, weil der Winkel BAF kein rechter ist.
Was jedoch die zweite Voraussetzung anbetrifft, so erweist sich seine
Unm~iglichkeit aus folgenden Erwiaigungen. Wenn der FuBpunkt G
des Perpendikels zum Beispiel auf den Punkt -H fallen wiirde, so
wilrde sich das angenommene Perpendikel PH ima Punkte K mit dem
anderen Perpendikel AP, das auf der Geraden AB in dem Punkte A
errichtet ist, schneiden, dann wflrden von dem Punkte K aus auf die
Gerade A B zwei Perpendikel gefiillt worden sein, was unm~iglich ist.
Also kann der Pu-nkt U, der Fu~punkt des Perpendikels FG, nur
CANTOR, Geschichte der Mathematik IV. 26