Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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390 ~~~~~Abschnitt XXII.

Linie, welehe Uberhaupt gegeben werden kann, diejenige, welehe sagt,
Iparallel seien Gerade, wenn zwei Punkte der einen gleichiweit von
zwei Punkten einer anderen Geraden entfernt sind. Zwei Ptunkte anzuf~libren ist voilkommen genrigend, weil zwei Punkte die gerade Linie
bestimmen. Danach nmul bewiesen werden (und das ist das Schwerste),
daB alle anderen Punkte der zweiten Geraden gleicliweit entfernt sind
von der gegebenen Geraden und daB foiglich sich diese Linien niemals
scbneiden werden. Zu sagen, daB die parallele Linie eine solehe ist,
deren Punkte alle gleicliweit von ei-ner anderen Linie eutferut sind
oder eine solche, welche bei der Verlaingerung sich niemals mit fihr
selineidet, heiBt das, wonach gefragt wird, voraussetzen. Den groBen
Geometern gleieh zu sagen, daB zwei parallele Linien zwei gerade
Linien sind, die in einer unendlichen Entfernnng oder in einem unendlich entfernten Pnnkte sich schneiden, das heiBt einem vollkommen
eiufachen Gegenstande eine UiuBerst metaphysisehe und abstrakte Definition geben."
Wie auch frllher, waren die Anstrengungen der Geometer der
zweiten Hiilfte des 18. Jahrhunderts, die sich mit der Theorie der
Parallellinien besch'aiftigtena, auf die Entdeckung einies strengen Beweises der fflnften Forderung, des Euklid, oder, was dasselbe
ist, seines elften Axioms gericlitet, weiches, wie bekanut, folgenden
Satz darstellt: Wenn eine Gerade zwei Gerade trifft und mit ihunen
auf derselben Seite innere Winkel bildet, die zusammnien kleiner sind
als zwei Rechte, so miissen die beiden Geraden, ins Unendliche verlIingert, schijefflich anf der Seite zusammentreffen, auf der die Winkel
liegen, die zusammen kleiner sind als zwei Recite. In der zweiten
Huilfte des 18. Jahrhunderts waren zwischen den, wie die oben angefillirten Zailen zeigen, zahireichen Versucien, den Beweis dieses,
Satzes zu liefern, sehr wenig solcie, die allgemeine Aufmerksamkeit
anf sich lenkten und die als vollkomimen genilgend angesehen in Lehrbticher fibergingen. In der chronologischen Reihenfolge ihrer Erscheinung muB man vor allem bei dem. Beweise von Bertrand stehen
bleiben, weichen er in seinem. aus der friiheren Darstellung bekauDnten
Werke,,D veloppement nouveau de la partie e6lementaire des matbhSmatiques" 1) gab.
Seinem Beweise der fiinften Forderung schickte B ertrand folgenden Satz voraus: Zwei Gerade, welehe von elner dritten Geraden
derart gescinitten werden, daB die Sumnie der inneren Winkel, welehe
auf derselben Seite der seineidenden Geraden liegen, zwei Recite betrii'gt, sehlieBen einen solchen Teil der Ebene emn, der in der ganzen

1) Tome II, p. 19-20.