Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Elementargeometrische Einzeluntersuchungen.38

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ebenfalls teilzunehmen anfingen. Ungeachtet, daB die LbIsung dieser
Aufgabe schwieriger erscheint, als die der zweiten, gelang es F uB mit
Ililfe der Methode, die der Methode der zweiten Aufgabe Tihnlieh ist,
einen viel sch~5neren Ausdruck der L~5sung der dritten Aufgabe zu
finden, weicher dabei geometriseli auf der Kugel konstruiert werden
kavin. Sein zweite-s Memloire widmete FuB dena Eigenschaften der
bekannten sphiirischen Ellipse, d. li. der Kurve, die den geometrischen Ort der Spitzen der Dreiecke darsteilt, in denen bei emn
und derselben Basis die Summe der zwei andern Seiten konstant ist.
Zn der Untersuchung dieser Eigenschaften, die den Eigenschaften der
ebenen Ellipse analog sind, wurde FuB dnrch die zweite Aufgabe des
ersten Memoires veranlaBt. Als Resultat dieser Untersuchung erschien
die Schlulffolge, 'daB die zu betrachtende Kurve eine Dnrchschnittslinie der Kugel mit dem. Kegel zweiten Grades sei, dessen Spitze in
dem Mittelpunkt der Kugel liegt. Anders ausgedriiekt: die sphiirische
Ellipse ist, die Kriimmungslinie der Kegel zweiten Grades. Sie kann
auf der Kugel konstruiert werden, ebenso wie die Ellipse in der Ebene,
d. li. mit Hilfe eines Fadens, weicher von einem sich bewegenden
Stifte stets straff gespannt wird und dessen Enden in zwei Brennpunkten befestigt sind. Weun man die Abszisse dieser Kurve auf
dem. gr~i~en Kugelkreise niimmt,
der durch die Punkte A und B
geht, in denen die Enden des
Fadens befestigt sind, indem.M
man ans der Mitte C zwischen
ihuen ausgeht, und diese Abszisse -F
mit x bezeichnet, die Ordinate A
auf dem grdl~ten Kugyelkreise Fig. 11.
(z. B. YX), der setikrecht
zuin gr~5Ben Kugelkreise ACGB stehit, mit y bezeichnet, die LUnge
des Fadens A YB mit 2c und den Bogen des gr~i3en Kngelkreises AB
mit 2a, so kan-n man mit MlMf der sehr bekananten Transformationen
und Reduktionen bei dem Kalkill der Sinusse eine Gleiehung erhalten
_ /(Srn2 C _sin 2a) (sin Ic - Sin2X)
tang y-=
welehe die Natur der sphuirisehen Ellipse ausdrticken wird. Die Anwendung dieser Gleichung auf den speziellen Fall, in welchemn die
Lhnge des Fadens 2 c gleich der halben Peripherie des grb5Bten Kugelkreises ist, fifihrte den Autor zu folgendem bemerkenswerten Resultat.
Wenn die LUnge des Fadens der halben Peripherie des grd8ten Kugrelkreises gleich ist, so ist die mit ihrer Hulfe konstruierte Kurve immer