Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Elementargeometrische Einazeluntersuchungen.38

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Dureli das Einfifihren der Algebra in die Elemente der Geornetrie
in Widerspruch mit den altgriechischen Geometern geraten, setzte
L e gend re denselben Weg fort. In semnen Arbeiten gab er den analytisehen Methoden einen weiteii Zugang in der Ldsung der Frageni der
Elementargeometrie. So gibt er im. V. Anhang zn semnen,,Elementen"'
analytische 1L6suingen der Aufgaben, die da handeln von Dreiecken,
in einen Kreis eingeschriebenen Vierecken, Parallelepipeden und der
dreiseitigen Pyramide. Bei der Wahl einies Beispiels aus ihnen fUr
unsere Darstellung genflgt es an der Bestimmrung des Radius des
Kreises, der urn emn Viereck umschrieben ist, und aui dessen Filiche,
als Beispiele, in denen der Autor die
Theorie des eingeschriebenen Vierecks ergiinzt hat und weiche deshaib eine seibstiindige Bedeutung haben.
Es seien die gegebenen Seiten des
dem Kreise eingeschriebenien Vierecks
ABCD AC
AB ~a, BC ~b, CD==cDA == d~,
und seine unbekan-uten Diagonalen A C D=x
Fig. 9.
B-D == y. Dann werden auf Grundlagre der Theoreme fiber das Produkt der Diagonalen eines eingeschriebenen Vierecks und tiber ihr Verh~iltnis
xy = ac +bd und - ad=bc
y ab + cd'
daraus folgt, daI3
W/(a -d-(ad+ b ) ~ (o+bd) (ab cd()
1/ abc -fd-cd' y" (adc b
Wenn man sich danach der bekaniten Darstellung des Radius eines
umschriebenen Kreises des Dreieeks durch die drei Seiten Umd die
Filiche des letzteren bedient, so erhiilt man fair den gesuchten Radius,
als den Radius eines nmschriebenen Kreises des Dreiecks ABC, den
Ausdruck
ab x
V4a62- (a' + b2- _2)2'
welcher sich nach Ersetzen des x dureli semnen eben gefundenen Wert
und ferner nach Zerlegung der erhaltenen Resultate in Faktoren in
den endgllltigen Ansdruck verwandelt
1/ ____ ~(ac +bd) (ad +bc) (ab [-cd)V(a+ b+ c-d)(a+~ b ~d -c) (a~c+ d- b)(b+ -fc-pd-a)