Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Lehrbflcher der Elementargeometrie.33

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neuer Wabrheiten. Aui~er den Arboiten fiber die Differentialrechnung,
die dieser Riclitung angeh~rten, und einigen anderen gehibren dazu
noch oinige Arbeiten, die, obgleich nicht gedruckt, so doch der Akademie der Wissensebaften vorgolegt waren, wie zum Beispiel das von
ihr am 26. Mai 1796 handschriftlich erhaltene Werk,Anfangsgriinde,
der transzondenten Geom etrie und der Differentialrechnung, abgeleitot
aus der wahren Natur ilires Gegenstandos", odor des von ihm im Jabre
1797 verlesenen Manuskripts,,ersuch der Begrflndung der Mathomatik auf festen Griiriden".
Die erste seiner Arbeiton dieser Art, die im Druck ersehion, war,,Yrsuch einer Vervollkomminuug der Elemente der Geomnetri e"'). Direkte Ursache zum Verfasson dieses Werkes war der Versuch, die Boweise der Theorerne, die fiber den U~bergang vom Endlichen
zum Unendlichen handelten, von dem. verbreiteten Gebrauch dor -Untoilbaren von C a vaIi e ri und der Unendlichkleinen von G uId in zu b efreien.
Urn der Geometrie ihre Genauigkeit und Kiarheit wiederzugeben, die sie
nach der Meinung des Autors, infolgo des Gobrauches dieser GriIBen,
oder, was dasselbe ist, infolge der Einfiibrung der von ihuon dargestellten Methode der Untoilbaren eingebiilt hat, stellt er an Stelle
der lotzteren die Methodo der Grenzen, die er aus den obengenaunnten
Werken d'Alemberts und des Abbe' de la Chapelle entnirnmt.
1ndern er jedoch die darin gegebene Definition der Grenzo als ungenUgend und unbestirnmt findet, stellt er sie, urn die darin befindlichen Maingel zu boseitigen, in folgender Form dar:,,Wenn irgend
eine Grdl~e durch irgend eine bestimmte bis in die Uneudliclikeit
dauerude Operation sich vergrbl~ert oder vermind ert, und dadurch
sich einer anderen unver~inderlichen Grbile so u~hert, daB sie sich
von ihr wenigor untorscheidet als urn irgend eine willktirlich genommnene GrdlBe dersolben Art und mit alledem sie doch niemals erreicht, so ist diese andero unverijuderliche Gr6iBe dasjenige, was man
die Grenaze der ersten sich vergr6BJerndon oder verminderuaden
Gr~iBe nennt."12) Indem or als Grundsatz der Methode der Grenzen
den ersten der beiden von do ha Chapelle anerkanuten S~dtze annimmnt, stoult Gurief den Beweis, den d'Alembert diesem. Satz gab,
in folgender ver~inderter Form dar:,Nehnien wir an, daB X die sich
vermehrende GrbBe ist und A, B ilire beiden Grenzen sind, so sind
sie, wenan nicht einander gleich, die eine grdl~er als die andore.
Nehmen wir an, daB A gr8iBer ist als, B urn eine unveriinderliche
Gr6Be D, so wird infolgedessen, daB A und B zwei unveriinderliche
GrbiBen sind, A = B + D sein. Da aber X immer kloiner ist als B,
')St. Petersburg 1798, 40, 264 S. mit 5 Tafein. 2)Gurief, V[orsuch, S. 34.