Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Lehrbilcher der Elementargeometrie.34

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Betraehtung vom Unendlichen auszuweiehen, bezeichnet L acro ix die
Grenzen. Die beim Gebrauch dieses Mittels angewandten Pri-nzipien,
als gemeingilitig fuir Siitze dieser Art, miissen. getrennt von ihnen und
unabhiingig von den Lirijen dargestelit werden, als Prinzipien, die
niclit llur auf GrU8en, die in den. Elementen der Geometrie betrachtet
werden, a-nwendbar sind, sondern anch auf andere Gr6BJen. Dank
diesen Folgrerungen steilt L acroix die erwdhnten Prinzipien in folgenden Formen dar: 1. Wenn bewiesen werden kanna, daB die Differenaz zweier unverdnderlicher GrbBen kleiner ist, als jede gegebene
GrdBe, wie klein sie an cl w~ire, so folgt daraus, daB die beiden ersten
Griien einander gleich sind. 2. Wenn von drei GruiBen eine sich
veriindernde ufnd dabei immner griB ere, als die beiden anderen, die
unveriinderlich bleiben, sich gleichzeitig einer jeden von 1ihnen -nahern
kann, so nahe wie nur wiInschenswert, so sin-d die beiden unveriinderlichen GriSBen. einander gleich. Indem er diese beiden Theoreme als,
Ausdrnck, wenn anch nicht als offenbaren, der ersten Griinde der
Grenzmethode ansiehit und die angenoinmene Form des zweiten sichi
zuschreibt, spricht er die U~berzeuguing ans, daB diese letzte besonders,
die Eigenschaft besitzt, alle ihrer bedtirftige Beweise zu vereinfachen,
bedeutend zn verktirzen und sie syminetrischer zu machen. In semnen
Elementen der Geometrie setzt er das erste Theorem an den Anfang
des Artikels fiber die Rektifikation des Kreises und das zweite an
den Anfang des Artikels vom Ausmessen des FlIicheninhaltes des
Kreises. Zn zeigen, daB je melir sich die geradlinigen Figuren den
krummlinigen u~hern., sich auch das MaB der ersten dem MaBe der
zweiten niihert - das sei die llauptsache, auf die nach Lacro ix'
Ni~leinung die Aufmerksamkeit gerichtet werden muB, bei Anwendung
dieser beiden Theoreme zum Ubergang von geraden Linaien zu krnmmen.
Als Erfindung kann hier bloB die Methode der Anniihernng angesehen
werden, die am Ende mit Hilfe der Induktion die gesuchte strenge
Bedeutung der betrachteten Gr6Be offenbart.
Lacroix gibt den Rat, die apagogisehe Methode nur zum Beweis der einfachsten Siize anznwenden. In alien. komplizierten Fiillen
jedoch muB3 man seiner Meinung nach dieser Methode answeichen,
weil sie den Verstand iiberze-ugt, ihn jedoch -nicht erlenclitet. Zn
diesen Ansichten. und ebenso auch zur oben angeftihrten Uberzeugnng
von der Mdglichkeit, die Methode der Grenzen in allen Fiillen des U~bergangs vom Endlichen zum Unendlichen anznwenden, gelangte Lacroix augenseheinlich nach dem Erseheinen der ersten Ausgraben
seiner Elemente der Geometrie. In ihnen benutzte er wirklich beiin
Beweise der Siitze, die vom Ubergang von den komniensurabelen zn
inkomnmensurabelen Gr~ien handein, in U~bereinstimmung mit d'Alem