Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XXIL

dort, wo, zum Beweise der Gleichheit das Prinzip der Kongruenz sich
ale unzuliinglich erweist, niimlich beim, Betracliten der K~rper. Er
nennt zwei solehe Polyeder symmetriseh,1) von denen bei gemeinschaftieher Basis der eine unter und der andere fiber dieser Basis
konstruiert sind, bei der Bedingung, daB die Scheitel der homologell
k~irperlichen Winkel auf gleicher Entfernung von der Gruudfl~che
und auf dem Perpendikel zur selben Grundfiuiche gelegen sind. Diese
Definition erkliirt er am Beispiel zweier Pyramiden S A BC und
TAB C, die eiue gemeinsehaftA liche Basis ABC haben u-nd
deren Spitzen S und T auf dem
Perpendikel ST zur selben
Basis geleg-en sind, wobei der
C Perpendikel sich im. SchnittS o T~~~ punkt 0 mit der Basis in zwei
Fig. 6. gleiche Teile teilt. Nachidem er
alsdann im II. Satz des sechisten
Buches bewiesen hat, daB jedes Polyeder nur emn symmetrisches
Polyeder haben kan-n, fifihrt er in die Elemente der Geometrie eine
neue Art von Gleichheit emn, die manches Mal die Gleicliheit von
K~irpern dureli Symmetrie genannt wird. Sie 1st im folgenden Satz
erhalten: Wenn zwei K6rper a und b symmetrisch dem dritten c sind,
so sind sie kongruent.
Das Einschlagen des Weges, der ihn zn dieser Neuerung ftillirte,
verdankt er Ro b e rt Si m son, weicher in seinen,,Kritischen and
geometrischen Bemerkungen" zu seiner Ausgabe der Elemente des
Euklid 2), ale erster auf die 9. und 10. Definitionen im XI. Buche der
Elemente des Euklid hinwies (die Definition ihnlicher Kbrper; die
Definition gleicher und iihnlieher Kbrper), ale auf soiche, die nicht
ale Definitionen angesehen werden k6nnen und deshaib ale Theoreme
bewiesen werden m-ilssen. Die Richtigkeit dieser Bemerkung anerkennend, und zu gleicher Zeit diese Definitionen in die Zahl der
Theoreme nicht einfifihrend, muBte Legendre, ebenso wie Robert
S imson n, zum Auffinden neuer Beweise zn soichen Theoremen sich
ansehicken, die Euklid auf die oben erwiihnten Definitionen grtindete.
Dabei mul~te auf den 28. Satz des XI. Buches der Elemente des
Euklid aclit gegeben werden, der aus dem Theorem fiber die Teilnnag
eines Parallelepipedons in zwei gleiche Teile bestand. Rob er t
S im so n betrachtete diesen Satz als Folge des von ihm vorher be1)S. Iivre VI, XVI. definition. 2) The Elements of Euclid by Robert
Simson, p. 388sqq.