Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Lehrbfieher der Elementargeometrie.34

341

F1~che, so kann in diesen Kreis immer emn regelmiifiges Vieleck eingeselirieben werden, dessen Filiche ebe-nfalls grdler sein wird als die
gegebene Fliche. We-nn die Filiche eines Kreises kleiner ist, als
irgend eine andere Fl1iche,7 so kann man diesem Kreis immer emn
regelmiil~iges Vieleck umschreiben, dessen Fliiche ebenfalls kleiner sein
wird als die genan-ute Flidche. Anstatt diese beiden Hilfssiitze einzeln
zn entwickein. fillrt L egendre in seinem. Buche folgenden sie zusammenfassenden Hilfssatz an: Wenn zwei konzentriscbe Kreise gegeben sind, kann man immer in den gr~Ieren von ilinen emn regelmiilBiges Vieleck einschreiben, oline daB seine Seiten den kleineren
schneiden, ebenso kann man auci urn den kleineren Kreis emn regelmiiBiges Vieleck umschreiben, dessen Seiten den grbBeren Kreis niclit
scbineiden; auf diese Weise werden im einen sowohi wie im. anderen
Falle die Seiten des konstruierten Vielecks zwischen den beiden
Kreisen eingescblossen sein. Dieser Hilfssatz sowohi als dessena scharfsinnige Benutzung in der Exhaustionsmethode stellen niclit die Erfindunig von Legen dre dar. Er befindet sich im, 16. Satze des
12. Buches der Elemente des Euklid, und dessen erste Benutzung in
der Exhaustionsmethode geh6rt Maurolycus an, wie aus der Ausgabe seiner Uhbersetzung der Werke des Archimedes zu ersehen ist.))
In seinem. Vorwort sagt Legendre, daB er im Anfang, an Stelle
der Exhaustiousmnethode, oder,7 nach seimen Worten, der Methode des
Archimedes, die Methode der Grenzen anwenden wollte, weil sie als
vorziigliche Vorbereiturig zur Erlernung der Differentiairechnung erscheine. Spiiter aber liel3 er dies Vorhaben fallen, weil in die Theorie
der Grenzen einige aligemeine Anfangsgrimnde, die eher den Gegenstand der Algebra, als, der Geometrie bilden, hineingehdren, und weil
zweitens die Anwendui~g dieser Theorie zum. Besprechen einer unendlichen Reihe von eingeschriebenen und umschriebenen Figuren filfirt,
was L'dnge der Auseinandersetzung und verschiedene Schwierigkeiten
nach sich zieht. Es ist U~brigens, zn bemerken, daB der erste dieser
Grtinde mit der Aussage des Verfassers in demselben Vorwort, dali
er beim. Leser seines Buches Ke~ntnisse der Arithmetik, und wenigstens
des anfiinglichen Teils der Algebra, voraussetzt, im Widersprnch steht.
Aus den Nenerungen, die Legendre in den Elementen der Geometrie gemacht hat, ist das Heranziehen des Prinzips. der Symmetrie in die Zahl der Priuzipien der Elementargeometrie hervorzuheben. Die direkte Anwendung dieses, PrinZips linden wir bei urn.
~)Admirandi Archimedis Syracusani monumenta omnia mathemnatica quae
extant, ex traditione D. Franc. Maurolici, etc. Panormi 1685, in-fol., p. 6
et Suiv.