Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XXIL

licht, besonders im ersten Kapitel. Was jedoch seine andere Idee anbetrifft, niaimlieh die der Einteifung desselben ersten Teiles in zwei
Abteilungren, so ist sie vollkommen blof3 in den ersten drei Kapiteln
ainzutreffen, von denen die beiden ersten vollkommen der ersten Abteilungr angeh~5rena, und das dritte der zweiten. In den niichsten drei
Kapiteln sind die beiden Abteilungen schon in gemisebtem Zustand
vorhanden. So enthalten von den drei Teilen, die das vierte Kapitel
bilden, der erste Teil die Siitze von der relativen Lage der Geraden
und der Kreislinie und zweier Kreislinien, der zweite, das Vermessen
der Winkel im Kreise, und der dritte die sich mit dem Kreise in
Beziehung befindenden proportionalen Linien. Ebenso auch in der
Sammiung der Aufgaben, welehe das ffinfte Kapitel bilden, gehkeire
die einen zur einen Abteilung, die anderen zur anderen.
Das Bestreben, die Eleinente der Geometrie zu vervollkommnnen,
welches das Werk B er trands durchdringrt Uun1ert sich vor allem ina
den von ilim gegebenen Definitionen der Ebene und der geraden Linie. Der Raum. ist unendlich und. homogen oder mit
anderen Worten, 1st sich selbst gleich zun jeder Zeit und. an jedem Ort.
Und wirklich, wenn wir seiner Ausdehnunng Grenzen angeben wollten, so
mil~ten wir es auf seiner gauzen Ausdehnung tun, das wllrde aber
bedeuten, daB die angegebenen Grenzen ihn nicht begrenzen. Was
seine Homogenitiit anbetrifft, so iinBert sie sich darin, daB der Teil
des Raumes, der von einem Kbirper an irgend einer Stelle eingenommen
wird, sich in niclits unterseheidet von einem. anderen Teil, welcher
von deniselben Kdrper an einer beliebigen anderen Stelle eingenommen
wird; dazu ist hinzuzuffilgen, daB der Raum, weleher den K~irper an
einer Stelle nmgibt, derselbe ist wie der Raum, der denselben Kdrper
an einer anderen Stelle umgibt. Aius diesem Begriff vom Raum folgrt,
dal3 man sich den Raum in zwei solche Teile geteilt vorstellen kann,
von denen man niclits von dem einen sagen kann, was niclit auch vona
demi anderen gesagt werden kbinnte, und. daB ihre allgerneine Greuze
zu einern jeden von ihnen emn ufid dasselbe Verhiiltnis hat, mag mani
sie im ganzen oder in ihren Teilen betrachten. Diese Grenze, die
den Raum in zwei Teile teilt, ist dasjenige, was man die Ebene
nennt. Die Ebene wie auch den Raum kann man sich in zwei solche
Teile geteilt vorstellen, von denen man nichts von einem sagen kann,
was nicht auch vom anderen gesagt werden k~nnte, und daB ihre
allgemei-ne Grenze aul~erdem zu. einern jeden von ihnen emn und. dieselben Verhbiltnisse hat, beliebig betraclitet im, ganzen oder in semien
Teilen. Diese Grenze, die die Ebene in zwei Teile teilt, ist das, was
man die gerade Linie ne-nnt. Mit Hilfe dieser Definitionen beweist
Bertr and folgende S~itze von geraden Linien, die ohne sie niclit