Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Lehrbficher der Elementargeometrie.32

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Grenze erscleiet, endgiiltig daraus, schliel~en, daB die Fhche des
Kreises das Produkit des U-mfanges mit dem halben Radius ist, oder
des Radius mit dem halben Umfang.
Von der Methode der Grenzen spriclit d'Alembert auch in
deli Abliandlungen Diff~rentiel') und Limite 2). In der zweiten Abhandlung, deren Hauptteil dern Abbe' de la Chapelle') gehbirt, bemiiht sich d'Alembert, dessen Definition der Grenzen kiarer und
strenger zu machen. De la Chapelle gab folgende Definition: Eine
GriiBe ist dann die Grenze einer anderen Gr6Be, wenn die zweite
der ersten niiher als jede gegebene Gr6lBe kommen kann, wie klein
der Abstand auch vorausgresetzt wit rde, dabei aber auif solehe Weise,
daB die sich anniihernde GrbBe niemals diejenige Ubertreffe, der sie
sich niihert; die Differenz zwischeu ehier solchen Gr6Be und der
Greuze erscheint auf diese Weise absolnt undefinierbar. D 'Al em b ert
ergiinzt diese Definition dahin, daB die Grenze niemals zusammenfaiit, oder niemals gleich wird mit derjenigen Gr6B1e, als deren
Grenze sie erseheint; daB sie jedoch, sich ilir immer mehr nilhernd,
sich von ihr so wenig als nur mdglich unterscheiden kanin. Der
Kreis z. B. ist die Grenze der eingeschriebenen und umsehriebenen
Vielecke, weil er niemals, mit ihnen zusamuienfiillt, obgleich dieselben
sich ihm bis zur Unendliclikeit n~hern kijunen. Danach, um an
einem Beispiel die Bedeutung dieser Bemerkung zur Belenehtung
einiger mathematischen Siitze zu zeigen, verweilt er bei der Untersuchung, des Ansdrnckes der Summe der unendlich abnehmiendeni geometrischen Progression. U~berhaupt riiumt d'Al embert der Theorie
der Grenzen wiclitige Bedeutung ein, weil er in ibr die Grundlage
der wahren Metaphysik cder Differentialrechnung sieht. In der Abhandtung Diff~rentiel flilirt d'Alembert, sich des ersten der beiden
von de la Chapelle angreftllirten Grundsatze der Methode der Grenzen
bedienend, zugleich auch semnen Beweis an, in weichem er sich der
apagogischen Methode bedient. Dieser Satz und der ilim beigefttgte
Satz von de la Chapelle sind in seiner Selirift folgendermal~en dargestellt: 1. Wenn jede von zwei -rU~en die Grenze emn und derselben
-rU~en darstellt, so slind diese G-riBen einander gleich. 2. Wir nehmen
an, daB A >< B das Produkit zweier 0-r6Ben A, B ist. Neliren wir
ferner an, daB C die Grenze der GruiBe A, und D die Grenze der
GrUie B ist, so folgt weiter, daB das Produkit C>< D unbedingt die
Grenze von A >< B, dem Produkt zweier Gr6B3en A, B, sein wird.
Den Beweis dieser Siize ftihfrt der Verfasser nicht an, den Leser anr
')Encyclope'die me'thodique. Mathe'matiques I, p. 520-526. 2) Ebenda
Ip. 309-310. 3) Ebenda I, p 521.
CANToRt, Geschichte der Mathematik IV. ~22