Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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328 ~~~~~Abschnitt XXII.

Methode zu beweisen, daB das eiue von den betrachteten Verh"I~tnissen weder kleiner noch gr6Ber sein kann als das andere, es ibm
folglich gleich sein mul3. Die apagrogische Methode sowohi in diesem
als audi, in den mneisten anderen Fifl~en, wo es sich urn inkominensurabele GrbiBen handelt, wird an Stelle der direkten Beweise, welche
hier uiicht, anwendbar sind, aus folgenden Gribiden gebraucht. In
den Begriff der inkomnmensurabelen Grdf~en gehb5rt, wenn auch nicht
augenscheinlich, auch die Idee der Unendliclikeit, weiche sich uns
iminer als negativer Begriff der Endliclikeit darsteilt, was audi als
-natifrliche Folge hat, daB calles, was die mathematische Unendliclikeit
anbetrifft, unmdglich direkt und a priori zu beweisen ist. In voltkommener Anerkennunig der Sehwierigkeiten, weiche die inkommensurabelen Gr~5Ben Ariinfchern verursachen, gibt d'Ale mbert den Rat,
sie wegen ihrer Wichtigkeit in der Geometrie, und besonders in der
Theorie der Proportionen der Linien lieber friiher als spiiter in die
Elemente einizufifihren. Dabei ist es unmoglicb, ohne den einzigen Satz
auszukommen, den die Theorie der inkommensurabelen GrW~en verlangt und der die Grenzen der Gr6lBen behandelt. Dieser Satz lautet
folgendermaBen: Gr6Ben, weiche die Grenzen eiuer und derselben
Gr~ie bilden, oder Griien, weiche eine und dieselbe Grenze haben,
sind einiander gleich.
Die Geometrie der Fhichen behandelt, nach d'Alemberts Ansicht, ihre Ausmessung, ebenso wie die Geometric der K6rper die
Ausmessung des Rauminhalts behandelt. Als Grutidprinzip beimi
Ausmnessen der ersten dient das Prinzip der Ausmessung des Rechtecks, und in der zweiten das Priuzip der Ausmessung des rechtwinkligyen Parallelepipedons. Die Schwierigkeit, die wir in der Geoinetrie der K~irper antreffen und der keine in der Geometric der
Fij:ichen entspricht, liegrt in dem Satze von dem Inhalte der Pyramide,
der den dritten Teil des Inhalts eines Parallelepipedons darsteilt,
weiches mit der Pyramide gleiche GrundflUiche und Hlihe hat. Urn
diesen Satz zu beweisen, ist es notwendig, zuerst den Satz von der
Volumengleichheit der Pyramiden, die gleiche GrundflUiche und ll13he
haben, zn beweiseni, was leicht zu bewerkstelligen ist mittels der
Exhaustiousmethode. Der gleichen Methode oder der Methode
der Grenzen muB man sich in der Geometric der Fliichen bedienen,
beim Messen des Flijeeninhalts des Kreises und in der Geometric
der K~irper beim Berechnen der Oberfiuehe und des Inihalts der Kugel.
Zu diesem Zweck muB man z. 13. im ersten Fall zeigen, daB die
Grenze des FlUicheninhalts beim eingeschriebenen oder umgeschriebenein
Vieleck das Produkt des Umifanges in die THilfte des Radius ist, und
danach, weil augeinseheinlich die Fhiche des Kreises als dieselbe