Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Imaginilres.

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sie mag nun positiv odei' negativ, reell. oder imaginiir sein, geh~irt emn
m6glicher Lograritlimus und nicht rnehrere."
Ferner sei noch erwiihnt, daB Pietro Franchini in seiner,jeoria deli' Ainalisi" Rtoma 1792, I ftinf Beweise ffur die R~ichtigkeit
der Formiel log ( — z) == log (-F z) publiziert, freilich ohne neue Ideen beizubringen; und daB Malfatti1) eingehend untersucht, oh die Logistica
einien oder zwei Zweige besitze.
Auch Kiistner findet, wie so mancher vor und nach bibm, daB die
Yon Euler beliebte Benutzung der h~iheren Analysis das Eindriingen in
die Natur der Logarithmen ersehwere. Kaistner erkeunt an'), daB
Hilfsmittel der h~5heren Mathematik notwendig seien, urn,,die Mannigfaltigkeit der unmingolichen Logarithmen zu kennen und zu brauchen",
aber er meint, daB sich schon,,aus den ersten gemeinen Lebren von
dlen Logarithmen dartun lasse, daB jede bejabte Zahi einen milglichen
Logarithmen hat und nur eiuen mi~glichen, und daB verneinte Zahien
keinen i-nlglichen Logarithmen haben". Der Sta-ndpunkt ist, wie man
sielit, emn noch ziemlich beschriinkter. Urn den Nachweis elementar zu
liefern, erkliirt Kadstner jede,,bejahte"- Zahi1 als abgektirzten Ausdruck
ihres Yerhiiltnisses zur -Einheit und setzt, urn das anzudeuten, + a
=(1: a). Dann wird fuir ganze positive rn die Potenz amn == m * (1: a),
d. h. das Resultat des mn-fachen Verhiftnisses (1: a), (a: a'),
(am-l: a",); die gleiche Erkliirung soil fUr gebrochene positive Exponenten mi q- gelte-n,,,da das Verhiiltnis (1: a) in q Teile geteilt
werden k~inue, von denen dann _p genormmen werden, urn.(1:a)
zu geben". So sei (1I: 8) == 3.- (1: 2), also,,Das Verhlidtnis (1I a) liBt sich mit keinern VerhUultnis zwischen
ein Paar bejaliter Zahlen vergleichenu." 1st bei konstantemn positiven C
und bei positivem y das Verhiiltnis (1:y) das x-fache des Verhuiltnisses (1: c), also (1:- y) ==x (1: c) oder cr'= y, so liefert das ein logarithimisches System mit der Basis c. Ist x emn Bruch 2p+1 daun
2q '
kiinnte y zwar einen verneinten Wert annelimen; aber diese Annahine
wiirde besagen, das Verhuit~fnis zwischeii 1 und einer verneinten Zahi
Sel ein Vielfaches des Verhijitnisses (1:c).,,Und das findet nicht
statt." Den Grund hleibt Kiistner uns schuldig. Denn das soeben
')Mem. R. Acad. Mantova, 1795. p. 3. 2)Leipz. Magaz. f. r. u. a.
Mathem. Stulck IV, 1786, p. 531.
CAN~TOR, Geschichte der Mathematik IV. 21