Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XXI.

unendlich kleiner GrdBen den Beweis dafiir Zn liefern gesuclit, daB sich
die,,unm~iglichen" Wurzeln algebraiseher Gleichungen in der Form
A + B I/- 1 darstellen lassen; B ou ga i n villIe liatte in sein em,,Traite'
du calcul integral",' Paris 1752, diesen Beweis recht ilbersiclitlich
reproduziert. Auch Foncenex lieferte (1. c.) einien Beweis dieses besonderen Satzes zugleich mit einer Kritik des d'Alemb ertschen Versuches; d' Alem be rt kritisiert dann seinerseits den Fo n cen ex schen
Beweis in dem,,Supplement" (siehe S. 308). Eunier hatte 1749 durcli
eine ileihe von Beispielen den ailgemeineren Satz iiberaus wahrscheinlich gemacht.
Nach gleicher Richtung geht eine Arbeit des italienischen Gelelirten Pietro Paolii; Rie findet sich als drittes,,Opuscnllnin"
seiner Opuscula, analytical). Paoli legt Gewiclit darauf, seine Ableitungen unter Vermeidung der Infinitesimal-Rechnurig zu geben, und
benntzt, urn das Zu ermaglichen, durchgehend das Prinzip der unbestirnmnten Koeffizienten als Hilfsmittel M~r die ilerleitung der n~itigeu
Formeln. So liefert er die Entwicklungen-von ar log (1 +x), sinxcosx,
tang x, arc tang x. Nach diesen Vorbereitungen gelit der Verfasser zu
einer Reihe von Beispielen fiber. Er beginnt mit dem Logarithmus
von (a + b* -1) diesen stellt er mit Hilfe der zuerst vorgenomnmenen
Eutwicklung in der Form einer unendlichen Reihe dar und findet
log (a + bj/ii)=logyI/a' + b2 + p1-,wo p are tangb ist.
Ffir a == 0 gibt, er nocli als besoinders erwiihnenswert das J. Bernoullische Resultat
an. Dann folgt die Behandlung von
log [log (a + b j-i)], logr flog [log (a +1 b.J/i-1)]}
usw. In gleicher Weise wird
pa + b.V'ii,I pq(6a+bf)
auf die Form A -H By'II gebracht; dann
(a -H b.J/1)m, (a + b.J a1>+ nV1
nsf. Hierauf kommen die goniometrischen und die zn ihuen inversen
Funktionen an die Reihe. Und den Schlul3 bilden die Kettenbrilche
mit imiaginiairen Teilziihlern und Teilnennern. iDie abbrechenden lassen
sich sofort durch Aufrechnung erledigen; die ins Unendliche fortlaufenden werden zunachst in uinendliche Refihen verwandelt.

') Liburnum (Livorno) 1780, p. 131.