Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

306

306 ~~~~~~Abschnitt XXJ.

AGpn = - NPQOA
der Behauptung oo - oc 0 Riquivalent w~ire.
Gegen die d 'Alem bertschen Ansehanuungen und Behauptungen
erhob emn italieniseher Chevalier, Daviet de FoncenDex seine Stimme').
Sein Aufsatz ist bauptsa~chlieh dureli den Versuch eines Beweises der
Wurzel-Existenz algebraiseher Gleicliungen bekannt, den C. F. Gaul3
in seiner Inaugural-Dissertation eingehend kritisierte. Wir wollen
einem friiher (Band IV, S. 119) gegebenen ilinweise folgen, und ineben
dem weiteren Inhalte des Foncenexschena Aufsatzes iiber die imaginiiren Gri3Ben auch diesen besonderen Beweis in den Bereich unserer Besprechunagen ziehen; dazu sind wir urn so melir berechtigt, als es sich
beim Fon cenexschen Beweise naicht eigentlich urn die Existenz der
Wurzeln, als vielmehr darum handelt, zu zeigen, daB die als existierend vorauisgesetzten Wurzeln euler jeden algebraischen Gleichung die
Gestalt A + B j/- 1 besitzen. Die Frage nacli der Existenz der Wui'zein selbst war zu damaliger Zeit noch niebt mit der n6tigen Schairfe
gefa~t worden.
In ~ 5 der Abbandlung zeigt Fonucenex zundichst, daB die Wurzein einer quadratisehen Gleichung mit reellen oder komplexen Koeffizienten in die Form c + d 1-1bei reellen c und d gebraclit werden
k~hnen. Dann betrachtet er eine algrebraische Gleichung in z des
Grades r, wo r in seine verschiedenen Primzahl-Potenz-Faktoren zerlegt
= 2rnp -q -S -. -= 2'.P
ist; er versucht nun elnen quadratischen Faktor (Z2 - ut M des
vorgelegten Gleicbungspolynoms herzustellen. Dabei b~ngt u von
einer Gleichung des Grades 2mn-1P.- (21nP - 1) ab, da u die Summne
je zweier Wurzeln der vorgelegten Gleichung darstelit, also
4 r.( - 1) Werte hat. Die Gleichung in u ist daher vom Grade
2M -1 Pi, wo P1 ungerade wird. Fur dieses neue Gleichungspolynom
in u wird wieder ein quadratischer Faktor (U2 -, -H 111l) gesucht;
dabei hiingt u1 von einer Gleichung des Grades 2n, - 2P,. (P1 2m1 -1
ab. So geht man weiter, bis man nach rn Sebritten auf eine Gleihung ungeraden Grades fUr urnl in dern Faktor
(Ulft2 - UM rm- 2 + 11Mmi )
des vorhergehenden Polynoms stMB. Eine soiche Gleichung ungeraden Grades hat, wie F once nex aus Stetigkeitsbetrachtungen her')Miscellanea Philosophico-mathematica S ocietatis privatae Taurinensis I,
1759, p. 113 (der zweiten Numerierung).