Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Imagina-res.
Man hUitte der Ansicht sein kdnnen, daB fiber die Meinungsverschiedenheit, die zwischena Leibniz und Johann Bernoulli in betreff der
Natur der Logarithmen negativer GrbiBen bestand, durch die genliale
Arbeit Eulers, die im, Band 1112,IS. 722 ausfifihrlich besprochen
wurde, endgilltig entschieden sei. Dem. war nicht so! Und der
Grund dafiir lag nicht zum mindesten in der freien Art und Weise,
mit der Euler in der Sitte seiner Zeit das unendlich Grol~e und das
unendlich Kleine verwendet hatte; freilich auci darin, daB er in seiner
Arbeit nicht darauf eingegangen war, alle friiheren falsehen Behauptungen auf ihren waliren Wert zuriickzufiihren, und alle aufgesteliten Paradoxa, aufzukliiren. Diese taucliteni daher wieder und
immer wieder auf.D'Alembert verdifeutliclite 1761 in semnen,,Opuscules math6'matiques" I, Paris, einen schon mehrere Jalire friher geschriebenen
Aufsatz,,Sur les logarithmes des quantite's -negatives", in dem er flir
Bernoullis und gegen Leibniz' Ansehauungen eiutrat. Er fillirt
eine Reihe von (4rfnden daffir an, daB log (- a) == log (+ a) oder
nach der damaligen Schreibweise, daB 1. - a = 1- -4 a sei. In erster
Linie beutet d'Alembert dabei eine etwas unbestimnzte, von Neper
herrifihrende Definition des Logarithmenbegriffs aus:,Logarithmen
sind eine beliebige Folge von Zahien in arithmetischer Progression,
die einer beliebigen Folge von Zalilen in geometrischer Progression
entsprecheud zugeorduet sind; nur mit der Einschriinkung, daB der Null
der aritlimetischen Progression stets die Einheit der geometrisehen
entspricht". Man hat also nach dieser Auffassung als
Logarithmen..., - 2 a I a, 0, a, 2a, 3a,I.I, na,..
Numeri... I, 1 b b2 b3y. ~
IA'2 b I ' I.*
bei beliebigen positiven oder negativen Zahlen a nud b. Davon
mnacit d' Al em be rt hiiufig nicht ganz einwandfreien Gebrauci: Behauptet Euler nnter der stillsehweigeuden Voranssetzung einer positiven Basis, die Logarithmaen negativer GrdBen seieu,, unmogrlich",
d. 11. komplex, so nimmt d'Alembert b negativ an nnd erihilt dabei
fMr gewisse negative Zahien auch reelle Logarithmen. Schliei~t Euler,
ans der Bernoullisehen Annahme log(+ a) == log (- a) miisse notwendig fur jedes a folgen log(a) == 0, s0 erkllirt d'Alembert, das
berge keinen Widersprnch, dennl man braucie ja in dem. oben gegebenen Systeme nur a ==0 zu setzen, urn e in Logarithmensystem zu