Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Reihen.

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Im gleichen Bande der Petersburger Ver~iffentlichungen kommt
INik. Ful3') auf ein, frtiher von Euler behandeltes Thema zuriick
(s. S. 294). Es handelt sich urn die Entwicklung von cos nq == s nach
Potelizen von cos (p z, und bei si n ncpD =- v I/ 1 -Z2 urn die von v
nach Poteuzen von z.Fu13 stellt die schon von Euler angegebenle
Differentialgleichung d2S(Z2- 1) + zdzds-n 2sdZ2= -0 auf und integriert
sle mit Ililfe unbestimmter Koeffizienten in Gestalt einer Reihe, die
nach steigenden Potenzen von z fortschreitet, statt nach fallenden,
wie bei Euler. Dabei wird das Eiutreten von Ausnahmef~llen vermieden.
Wir haben unsere Blicke jetzt wieder nach England zu richten,
wo uns die Transactions von Edinburgh und die von London einiges
lBemerkenswerte bieten. Da sei knrz eiiuer Arbeit von James Ivor y2)
gedacht, der eine Formel schueller Konvergenz fuir den Umfang einer
Ellipse aus der Entwicklung der Potenz (a' ~ b2 - 2 ab cos 99)n herleitet. Auf den Kreis angewendet liefert diese Formel
4 9 12 12.2 1 2.1 232 1 2.1 232.5 2
==1 + -2 + 224+ 22422 [phone]
als besonderen Fall.
Vier Aufsdtze von John H ellinS3 ) besch~iftigen sich mit konvergenten Reihen. Der erste leitet eine Ililfsformel fuir die Transformation gewisser Reihen her. Durch zwei versohiedene IntegrationsAusftihrungen von a)- -d wird die Gleichung
A" -+.= — -_
IMft In -J n, m In- 2 n ji-xM) it f — n(1 x)
+ it - f2n -xm +2n -I it)3- 2n.3nxrn i2_____
lit m +it)()n+ 2it) I X)3 it m +n)...(7n ~ 3 i) (I -X)
gefunden; durch sie wird dann die zykiometrische Formel
31/ 3(+ 11.81 ~.. —j ~ G+ 1 1~
umgestaltet, indem. die Hilfsgleichung sich auf jede der vier Klarnrner2)Nov. Act. Petrop. XI, 1793 (1798). p. 155. 2) Transact. R. Soc. of
Edinburgh IV (1798), p. 177. Transact. R. Soc. of London 84 (1794), p. 217;
86 (1796), p. 135; 88 (1798), P. 183 und p. 527.