Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

300 Abschnitt XXI.
bequemer entwickein als bei der Leibnizschen Forinel, weil jedes
durcb eine eiufaclie Multiplikation aus dem vorhergehenden abgeleitet
werden kaun. Emn weiterer Yorzug lie gt darin, daI3 alle Glieder von
gleichem. Yorzeichen sind, so dalI eine Addition der Glieder gentigt. Wird
die neue Forruel bei z == 4A tang -1 - 4A tang 1~ verwendet, so entsteht
16 2(2\ 2 4 /2\2 24 6(2\3,
12 2 1 2 /1\2 2 4 6(2\3 ]
+ + + + ~tO +3 7\ f j
noch bessere Formein erhiilt man fuir z c 8 Atang I~ + 4 A tang a
da die auf den zweiten Summauden beziigliche Reihe nach Potenzen
2 A an' o3 i
von ~~fortschreitet, und fMr 7c t 20 A tang, + 8 A an79 wodi
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entsprechende Eutwicklung nach Potenzen von erfo lgt.
Der Ausgangspunkt der letzten Ablbandlung (ibid., P. 150) ist die
Integralgleichung
C2+2x ----dx~ f2 X+ =Cd A tangj
4 + x4 2-2x+x
4 2f<, X +2J- +f<
Nimmt man die Grenzen der Integrale gleich 0 und x, so wird ihr
Wert gleich A tang x; dies Integral bezeichnet Euler mit dem
astronomischen Zeichena fair die Sonne und ihnliclh die drei Integrale
rechts mit den Zeichen fMr Saturn, Jupiter und Mars:
dx ~~~xdx __ jxYdx
4 +x ~ J4+ X ' J4+ X
Er schreibt also ~F = 2~ + 22t + j A tang -~ iNun ist die Entwickungdes ennrser ItegalenachPotuze vo -x ect.Dee
x4
Iangten Reiheni werden fUr x 1, x = und x= benutzt, wodurch
man auf A tang 1, A tang ud A tang 4 kommt. Die beiden letzten
1 1
Reihen, die nach Potenzen von -- bezw. -~- -- fortschreiten, konvergieren reclit gut und liefern den Wert fair
-~=2A tang - +A tang -
mit ziemlicher Leichtigkeit als Aggregat von sechs unendlichen Reiheii.