Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Reiben.

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zum ersten Male die gebrdunehlich gebliebene Koeffizienten-BestimmUn g
dureli Integrale
A = (0)= fF dqi und (n) = r. dcp. cos nqp
0 0
auf. Dieses Resultat benutzt E ule r dann zur Tr-ansformation von
FV: (p =:(0) + (l) cosq + (2) cos 2qi +
in die Reihe, die nach Potenzen von cos T fortschreitet, und die wir
etwas abweichend von der Bezeichnung der Original-Arbeit
== [0] + [l] cospT + [2] (COSq()2 + [3] (cosq()3 +
schreiben. Dabei kommt es natiirlich auf die Berechnung von Integralen fcos xqp (cos (p)dc anl. Es ergibt sich:
0
und wenn n > 0 ist:
2n-1 9in+ 2 [nn 2] + 4 +3
2n(n) == [n] + n 2]+ ___ n+4
4 4 -8 [+4
+ ( + ) ( + ) ( +4) [n + 6] -1..
Die beiden letzten Aufsditze Eunle rs 1) beschiiftigen sich mit
Zykiometrie, d. h. mit der Frage nach expediter Berechnung des
Wertes der Zahi zr. E ule r gibt zundichst eine knrze historisehe
Ubersicht fiber die Resultate von A. Sharp, J. Ma chin und
G. d e L ag n y (vgl. Band 1112 S. 668-669); dabei erkliirt er die
Arbeit des letzteren, der die Berechnung auf 100 Stellen durchfiihrte,
fflr eine mehr als herkulische Leistung.2) Danach stellt er eine neue
Formel auf,2 die bedeutende Vorztige gegen die Leibnizsche Formel
hat. Bedeutet s den zur Tangente t gelh~brigen Bogen, so wird
s1 t2[ 23( t2)+2 (tt2 )~3257(6 +t2 )+1
Auif verschiedenen Wegen, einmal dnrch eine Reduktionsformel, einmal
dureli eine Integral-Transformation, wird die Richtigkeit dieser Beziehung nachgewiesen. Die einzelnen Glieder lassen sich deswegen
') Nov. Act. Petrop. XI, 1793 (1798), p. 133 und p. 150. 2) Euler fibers1ieht hierbei eine Arbeit, auf die im Briefwechsel von Lamb ert IV, p. 480
(Schreiben von Wolfram an Lambert) aufmerksam gemacht wird: B. Lamy
bat nr bis auf 128 Ziffern geliefert.
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