Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Reibe-n.

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dann gelten die Formeln
a~m~ngr ~amzr. (a +I inr)n)gr
am~r:(a + ),.)rnit r = aor: (a + mrI) n Ar.
Weun mnan hierin I? -- setzt, so ergibt sich
r
b)- a b- a
- 7or 7t
am n r: bm or== a r:(a + mir)r
fUr rn = c wird jeder Faktor des letzten Divisors gleich (cx. r), mnd
bei b -a == d entsteht daher die Gleichung
+ - or
a la +r)(a-H2 r) (a +3 r). a(a ~ d) (a -Fd + r) (a +d(+2r) (a ~d-I 3i)...
xr)
Dureli diese Formel meint Kramp den Wert der linken Seite bestimrnt zu haben; er flbersielit dabei, daB die recite Seite nur eine Bezeielinu-ng ist. Er geht dann zur Umwandlu-ng der Fakultdt
amit r am + Aaml'r + Bam-19r2 + Uam- 3r3+
in eine Reihe fiber und bestimmt die ersten Koeffizienten
A rn- 1 2 B rn-i1 1 A-'M
m (mn+-i) mn-Hi 2' (mn- 1)(rnt+i) rn?+i 2 12'
3 C I ~1 rn- I
3C mi-B — A.
(mn- 2) (m + 1) rn+i 2 12
Die erhaltenen Resultate wverden auf die Entwicklungen
Sinrn1~7 rn(1-m)(i1+m)(2-rn)(2+rn) —
sin itz~ 2n (2 -2n) (2 + 2w)
angewendet. An und fllr sich bedentet die Arbeit nicht viel; sie ist
jedoch historisch interessant als Ausgaiagspunkt der Fakultaten-Lehre.
Im Jahre 1798 wurden die letzten Eulersehen Arbeiten fiber
Beilien, die in unsere Epoche fallen, von der Petersburger Akademie
veroflentliebt. Die beiden ersten dieser Abbandlungen') beschUiftigen
sich mit der Entwicklung eiuer Funktion, die er in der dar-naligen
Funktional-Bezeichnung F: cp schreibt, in eine Reihe von der Form
A + Bcosq C cos 2o2-+D cos 3 (p+...- oder, -nach E uler, nm
F: cp= (0) + (1) cos q + (2) cos 2q + (3) cos 3T + —.
Die zweite Bezeichnaungsweise wiihlt er, well bei der ersten,,bald das
gauze Alphabet ersch~ipft sein wtirde". Soil die Funktion F: (
stetig sein, so inissen, wie Euler behauptet, die Koeffizienten sehr
') Nov. Act. Petrop. Xf, 1793 (1798), p. 94 und p. 114.
CANTOR, Geschichte der Matlhematik IV. 20