Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XXI.

nach dem wohi die Kettenbruch-Entwicklung der linken Seite fortschreiten kann. Auf diese Art leitet er voller Stolz, immer mit Betouring der Einfaehheit Seiner Methode, Lagrangesche uind Lambertsehe Resultate her, die natfirlich auf minder einfacheum Wege
von ihren Entdeckern erhalten worden waren.
Pietro Paoli (Petrus Paulus) beginut eine zur Reihentheorie
geh~5rige Abhandlung1) mit folgender Angabe:,,Lagrange hat bemerkt, daB das allgemeine Glied rekurrenter Reihen von der Integration einer (endlichen) Differenzen-Gleichung abbiingt. Bisher hat niemand walirgenommen, daB auci die Summation einer rekurrenten
Reihe durch die Integration einer iihnlichen Differenzen-Gleichung geleistet werden kanu." Kennt man das allgemeine Glied einer rekurrenten Reihie, so kann man auf versehiedene Arten ihre Summe
finden; die Paolische Methode kann aber auch ohne diese Kenritnis
auskommen. Die Reihe sei YO, Y1, y2,.. y~ Yx *; es bestehe fair
jedes x die Relation ayx + byx-1 - H. +_pyx, = 0. Daun ist
y = Amx' + Alrn?, + A2m"2X ~ I
wo m,~M m1 in2, *. die Wurzeln von atmI + btmI-l1 +* -[-p 0 sind.
Setzen wir die Summe zx == YO + Y1 + y2 +.. ~ + Y1So folgt
Zx~Z- + x x-1 ` - x-2 ~ Yx-11 ' '
und wenn man diese letzten Gleichungen der Reihe nach mit a, b2 c,..
multipliziert uind zueiuander addiert, so entsteht
azx +(b - a)zx-i+ (c -b)Zx-2 +- f-..-PZx-.-I 0.
Demnach bilden auch die zx eine rekurrente Reihe; man hat also die
Gleichung aumln + (b - a) um -+- (c - b)um + - -— p =0 aufzu1isen; aber offeubar Sind ihre Wurzeln gleich 1, in, ml, m~ > - und
daher iSt z'~' = CO + CMX + C,tlX + 62M2 + -I — *. Die C lassen sich
nun leicht aus linearen Gleichungen bestimmen, die aus den Anfangswerten Z1, 2,' hervorgehen.Hier ist vielleicht der beste Platz ffir die Besprechung einer
Arbeit, die sich zwar nicht auf Reihen, sondern auf fortgesetzte Produkte bezieht, aber doch wegen deren. Umwandlung in unenldliche
Refihen, nicht ganz unangernessen an dieser Stelle untergebracht werden
kann. Es handelt sich urn einen Anfsatz von Chr. Kramp fiber die
W a IIis sehen Brilbe 2); sie ist der Ausgangspunkt der Untersuchungen
i-ber,,akultiiten". Kr amp setzt
a(a + r) (a + 2r).. (a + [n - 1]r) =.- n7
')Mein. Acad. Mantova I, 1795, p. 121. 2) Nov. Act. Acad. Elect. Mogunt.
BCi. quae Erfurti est; 1, 1797 (1799), p. 257.