Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XXI.

a +O b+a cbH +b+a e+Od+ + ab + 0 b + 0 C + 0 c+ 0 d+0 ~~~~~0~
her.
Die andere1) kniipft an folgende Tatsache an. Setzt man
2 cos 'p = x so wird ffur positive ganze n, die > 2 sind
2 cs ( = x"- n- +n (n-3) xn - 4___( )(n 5 x
~~JCO~fl~~XflXV 1.2 1- 2_3
+ n (n -5)(n — 6)(n -7) Xn?-2 -falls man sich auf die nielit negativen Potenzen von x beschriinkt.
Fftr n == 0, 1 und alle negativen und gebrochenen n ist die Formel
aber falscb. Wie erklirt sich das? Euler setzt cos 'p oder sin 'p
gleich z und cos nc(p bezw. sin n 'p == s. Dann gilt
d2S(l - z_2) - zdzds + 12 sdZ2 -= 0.
Die Integration liefert, wenn f willkiirliche Konstanten bedeuten,
Die dem Problem entsprechenden Werte von f, g werden dureli Reihenentwicklungen gefunden. So erh~ilt man
8=( n-9 z2 l(n - 3)zn
+ (-n + n -n- z 2 ~ n n+3 -9z-4
als riebtige und ailgemnein gilltige Formel; bei positivem, gauzen
n > 2 fallen die Potenzen mit negativen Expone-nten von selbst fort.
An diese Arbeit knfipft Nik. FuI3 einige Untersuchungen2), in
denen er die Eulersehe Formel herleitet durch Eutwicklung von
(Y I/ —1)n==Ay'1 - By n-2 + Cy n4 - Dy n-6 +..
Eine andere Arbeit Eulers aus dem Jabre 1760 (siehe S. 259)
gab Pfaff, der sich mit der ilerausgabe von Eulers hinterlassenen
Schriften beschdiftigte, Veranlassung zu weiteren Forschungen.3) Die
x
Reihe arc tangtj~x) oder in damaliger Schreibart SA tang t(x) hIRt
k = I
sich leicht unter der Annalime, t(x) f(x) -- f (xi- 1) - durcli Zerlegung
1+ f~x). fAx + 1)
der einzelnen Summanden in (A tangf (x) - Atangf(x + 1)) summieren.
Man erh'ilt dabei als Summe A tang f(1) - A tang f(x + 1). Wird
4=b2 +42 - 1 un k)- a
4c ==b + a und Ax == + -- gesetzt, dann ist eine solehe
DarstellUng Von t(x) m~iglich, und man erhalt
1) Nov. Act. Petrop. IX, 1791, p. 54. 2 Ibid. p. 205. ')Ibid. X,
1792, p. 123.