Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Reihen.

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die vorgelegte Summe als emn bestimmtes Integral dargesteilt. Setzt
man. Jxai(l - xb)' 'dx = A, so wird
0
Ca~bii-l(1 xb~ dx a a +b _ a+ 2b a-f —(v- 1) bA
J X~~~~ - ~~c a+ b+c a-{-2b+ c a +(v -1) b + c
und das leitet zur Liisung himi Audi mit Aufgaben folgender Art
bescbdftigt sich Euler in dieser Arbeit: Er setzt
a
(1~Xb) b =1 +A Xb+ BX2b + CXsb+.
nuid
a
(t-X 1) =1 + %XI+ 03X2b1+ Gx b +.
und bestimmt die Summen der Koeffizienten-Aggregate
1 A+!B+ --- B C+ --- C+O
Sebastiano Can terzani untersucht') die Umkehrung der Reihe
y == a'x + a" x2 + a"'x3 +..., mag die rechte Seite dabei bis ins
Unendliche gehen odor im Endlichen abbrechenu. Er findet
x = b'y + b y2 + b"' y3 +...
mit b' 1 l b' b...b — b'' und g-ibt die
a a' I a C
Regel ftir die Bildung der Ziihler an. Die erhaltenen Resultate verwendet der Verfasser bei der L~isunig der Gleichung
0 == - y + a'x + a" X2 +...
Konvergiert die Reihe fdr x, dann konvergiert sie, wie dem Verfasser,,scheint", na ch der, dem absoluten Werte nach, kleinsten Gleichungswurzel, falls diese reell, ist; das hatte bereits E. Waring angegeben.
Von den E ul1er schen Untersuchungen Uiber Reihen geh~iren zwei
ins Jahr 1791. Die eine2) liefert ftir das, durch Rektifikatioln der
gleicliseitigen ilyperbel, geometrisch erlangte Resuitat
1 1.-5 1.5.9 1
7+7 11+7 11 15 2
einen selir einfachen direkten Beweis. Euler leitet auf dem gleichen
Weoge _a + a a~O +a -a+O a+20 - =- a- wi
b b b +O0 b b+Ob + 20 b=

1) Mem. mat. fis. Soc. Ital. V, 1790 2) Nov. Act. Petrop. IX, 1791, p. 41.