Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XX1.

r mid m zugleich gerade oder zugleich uingerade sind. Pfaff findet
far die letzte Summe 0, wenn mn < r; dagegen ~ 1~ III, wenn mn = r
ist. Ebenso werden Refihen
~ S- I 2 q und 2 7 -2
ni n
untersucht und mittels der Substitution I. == wJ/1 urngeformt. Auf
weitere Einzelheiten gehen wir niclit ein, da die Grundlagen seiner
Beweisfllhrung zu wenig fest sind.
Aus dem Jalire 1789 haben wir eine klienere Arbeit Eulers zu erw~hnen 1), in der er darauf aufmerksam macht, da die Substitution
x = r (cos Tp + jf- sin 'p) vonl der Summe der Reihe
A +Bx + Cx2 +FDx3 +
auf die Summen der beiden Reihen flihrt
A ~ Br cos 'p + Cr2 cos 2 ' + Dr' cos3 'p ~
und
Br sin 'p + Or2 sin 2 'p + Dr sin 3 'p +
(vgl. S. 268). Diese Methode verwendet Euler auf die binornische
Formel. Unter Yernachlissigung der Konvergenzfrage sAM~ er dabei
auf Resultate wie
1 -4ecos'p+l10cos2'p -20Ocos3'p +.. cos2'p:(16 cosq)4
undl1- 3 + 5- 7 +9 -. 0.
Unter den Verdifentlichungen der Petersburger Akadernie im
Jahre 1790 befinden sich zwei Abhandlungen Eulers 2), deren erste
an eine frifhere des Jahres 1781 ankniipft (vgl. S. 276). Es handelt
sich urn die Summen
die fUr gauze Werte von in, n, p bewiesen werden und die auf beliebige Werte von mn, it, p ausgedehnt werden sollen; also auch
hier wieder urn eine Jnterpolationsaufgabe. Der Wert -von ($ fUr
1
beliebige p, q wird mit Hulfe von fI ~-)dx =- p! definiert, und daun
0

') Nov. Act. Petrop. VII, 1789, p. 87. 2)Id.II,79,p8.

2) Ibid. V111, 1790, p. 32.