Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Reihen.

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gration der recliten Seite und gleichzeitige Multiplikation mit 5 herleiten
15~26+**.+ 5 1 6 +1 5 +6 4+ x3 12 et
15 +25 + + = — x +-2x +12x +O - - x-[cs In
iihnlicher Weise geht er von n auf (n - 1) zuriiclk. GrdIere Wichtigkeit kUnnen wir dieser gelegentlichen Bemerkung niclit zusprechen.Aus deina Jahre 1787 ist kaum etwas beizubringen. Denn die
Arbeit von E. Waring'), deren Titel auf Reihen hinweist:,,Werte
algebraischer Grbl~en ausgedriickt durch konvergeute Reihen", ist in
Walirheit algebraischer Natur; sie rechtfertigt ibren Titel nur durch
eine ungerechtfertigte Benutzung des binomnischen Lelirsatzes fair gebrochene Exponenten. Am Schlusse gibt sie eine historische Ubersicht fiber die bis zur damaligen Zeit unternommenen Versuche, die
Anzahl der positiven und der negativen Wurzeln einer algebraischen
Gleichuing zu bestimmen.
Wir haben jetzt auf eine umfangreiche, in Buchform ersehienene
Schrift von Johann Friedrich Pfaff einzugehen2):,,ersuch euner
neuen Sumimati onsmethode nebst anderen damit zusammenh~dngenden
analytischen Bemerkungen".
Pfaff beginnt mit euler Reihe literarischer Notizen. Irn zweiten
Abschnitte setzt er seine Methode auseinander, die als Hllfss~ize die
bedenklichen Gleichungen
1 -1 + 1 1- + 9...= 1 und 1n,-212n+ 3rn -4m'i+...=
benutzt. Hanidelt es sich null z. B. urn die Reihe
sin - Isin 2 ( + sin p,
so setzt Pfaff fdir jedes Glied die Potenzentwicklung nach deml Bogen
ein~ und falft die Gtieder von gleichen Exponenten in Tp zusammen.
So entsteht mit Benutzung der obigen fragwiirdigen Resultate
-1 + 1 ~ ~ ~ ~ 2+ 2
- + 1 + (I1 1- 2?f 4
2~~~~
behandelt. Im letzten Falle ist die Summe nur dann angebbar, wenn

1) Phil. Transact. Lond. 1787, p. 71. 2) Berlin 1788.