Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Reihen.

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abgeleitet wird; esist =1-12. Ilir Beweis ist ja sehr
einfach.
Aus demselben Jabre 1784 stammt von dem eben erwdbnten
G. Fontana eine zweite Arbeit') Uiber unendliche Reihen, in der er
wiederum gelegentlich E ulers Schhisse angreift. Der ilauptinhalt
der Abliandlung liegt in der Benutzung der Integrairechnung fdr die
Sumimierung von Reihen. Als Beispiel m6ge folgendes dienen: utn
S 1 + ~y-Hi, +~Zn finden, leitet er -=~S her und integriert diese Differentialgieichung. Ahnlieh behandelt er
r 2 4 6 x3 x7 xt x'1.x x x
1+ - + - +-H ---++: -
er kommt auch auf Bossuts Theoreme (vgl. S. 264).
Aus dem im Jahre 1785 ersehienenen letzten Bande des Briefwechsels Lamb erts interessieren uns bier zwei Stellen2), in denen
Ludwig Oberreit fiber eine Reihentransformation berichtet, die er
uind scion vor ihm Lambert gefunden hatte. Von Oberreit werde
erwabnt, daB3 er 1734 zn. Lindau. geboren wurde u-nd 1803 zu Dresden
als Finanzbeamter starb. Die erwillnte Transformation von
y axm1 - bx~n +n + cXrn+2n1 +...
geht so vor sich, daB die Gleichung zuniichst mit a + b xn multipliziert wird. Dadureli fdIilt das Glied mit xm + n fort, und man hat
(a + bXn) y - 2Xm xf+ 2 n -bXnz + n ~ CXI+4n(lurch Multiplikation mit (a' + b'Xn) wird das Glied mit xm+ 3n weggeschafft nsw. Dieses Vorgehen liefert
a 2xnI a ' 2xm+2nl a"fx~ X+ 4 2
a-+ -b- + (a- + — bxn)( -(a-'+ b 'x) (a -j b x") (a' + b'x') (a" ~ b " x)
Wendet man diese Transformation auf dieRefihen fUrdie Logarithmen,
fMr die Quadrat- uind die Kubikwurzeln an, so erhiflt man sehr schnell
kouvergierende Entwicklungen.
Iun Jahre 1786 veriiffenatlicht A. M. L orgna wieder eine Reihenunltersuchung3). Er summiert
1) Mem. mat. fis. Soc. Ital. II, 1784, P. 886. 2)Lamberts gelehrter
deutscher Briefwechsel, lierausgeg. von Joh Bernoulli, Band V (1785), p. 304
und p. 354. 3) Wum Acad. sci. Turin III, 1786-1787.