Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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286 ~~~~~~Abschnitt XXI.

S
und dgl. mehr.
Das gleicbe Thema wird in einer spiiteren Abliandlung (p. 217)
fortgesetzt. Euler erledigrt dabei den Fall, der den f'rifiheren Methoden niclit zugiinglicb war, daB alle Tejilzhler gleich 1 sind, wiihre~nd die Teilnenner eine aritlimetiselie Reihe bilden. Die Ldsung'
wird durch die Integration einer Differentialgleichung verm-ittelt.
In der zehnten dieser Arbeiten (p. 240) handelt es sich, ohne daB
erwiihnenswerte Resultate zutage gefdrdert werden, urn die Suinme der
Reihe
1 1 1 1 1 1 1
3 6 7 11 13 17 19 23 29 31
Die elfte Arbeit des zweiten Bandes (p. 257) gibt eine neue Ab1 1-1 1 -leitung der Summen 1 1F -2 + +- -H -, +T die sich auf
die Entwicklung der beiden Formeln
2 2 2
und
2 2 __ 2
n1tg- -i 4 v 1 9 nb2
Nach der Besprechung der' auf Reihen bezflgliehen Arbeiten inl
Eulers Sammelwerke,,Opuscula analytica" gehen wir zu einem Aufsatze von E. Waring fiber.') Waring betraclitet hauptsdeiclichl
Reihen, deren altgemeines Glied eine rationale Funktion des Stellenlzeigers oder, wie sein Ausdruck lautet, der Entfernung vom Anifanigsgliede ist. Er geht davon aus, eine gegebene Summe A(x) inl einie
nach Potenzen von x fortschreitende Reihe sich entwickelt zu denakeni.
Setzt man den Nenner von A (x) gleich Null, so liefert die, ihrem
absoluten Betrage nach kicinste Wurzel dieser Gleichung die obere
Grenze fMr die Konvergenz der Reihe. Das ist also eine bereits vollkommen moderne Auffassung; bemerkenswert ist, daB bier bei. eifler
kornplexen Wurzel a -f b i/- 1 statt des absoluten Betragesy'+b
die kleinere der beiden GrdBen Ia - b,a -j b,genommen wird.Hat das allgemeine Glied die Formn z + bze - ~..
mit m __n - 2, s0 kann es in ein Aggregat
(Z +e) (z+e + 1)~ (Z +e)..<z +e +2) z+e ( 3

1) Phil. Transact. R. Soc. Londdn 74 (1784), p. 3086.