Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Reihen.

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Im. dritten Teile geht Vinc e von der Bemerkung aus, daB in
einer u-nendlichen Reihe, deren Glieder iiach Null konvergieren und
abwechsel-nde Vorzeicben haben, aufeinander folgrende Glieder in emns
zusam-niengefal~t werden diirfen, wie bei
I + 11 1 + 1 1 1
2 3 4 ~15 1 12 34
~2 3 4.5 6.7
daB dies aber bei Reihen, deren Glieder inach einer endlichen GrdBe,
+0 konvergieren, niclit erlaubt sei; daB also n icbht
1 2 3 4 5 _61 1 1
2~ 3 +4 5 +6 7 + 23 4.6 6. 7
Es miissen also bei soleher Zusaninenfassung noch Ergiinzungsglieder
beigefiigt werden. Das erkuiirt sich (an den obigen Beispielen) so: Die
1 1 1
Reihe -.3 4 -.,hrt im Unendlichen auf", da ihre
Glieder 0,0,... werden; die Reihe 1- I + It-im
2 3+4 5 **,gbtll
Unendlichen noch fort", da sie die Gestalt 1 - 1 + 1 - 1 ainnimnit.
Die Wahrung, der Gleicliheit fordert also, daB man zun. Ausdrucke
noch 1 -1+ 1 - 1 + hinizufiige. Und das
2.3 4.5
hat,bekanntlich" den Wert -- Genau aus den gleichen Griinden
2
wird bei 1.2+ 3 4 + 5 6 - das Ergiinzungsglied
1
sein. Es ist interessant zu sehen, welche wilden SchM.linge die Lehre
'von den divergenten Reihen treibt, nnd wieviel Scharfsinn auf das
Dogma von der Summe soldier Reihen anfgewendet wurde.
In dem Eulerschen Werke, dessen erster Teil 1783, in des XVerfassers Todesjahr, dessen zweiter 1785 zu Petersburg ersehien und den
Titel,,Opuscula analytica" triigt, linden wir Reihien-Untersuchwngen.
G~leich die erste Abbandlung (p. 3) des ersten Bandes gehuirt hierher.
Das in ihr behandelte Problem ist etwas unbestimmt gedacht und
ausgedrfieikt: Einie Reihe -von Zahien A, B, C, D, B F,... ist gegeben, und eine andere a, b, c, d, e, f; g, *.. soil gefunden werden, so
dIaB ab =~=A; bc == B; cd = C; de,= D; ef = E;fg ==G;... wird.
Offeinbar h~ngt alles von der Bestimmung des a ab, und dies a bleibt
ganz willkiirlich. Euler suclit nun, obue es ausdr~icklich auzugebein,
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