Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XXI.

Auf diese Reihe werden andere dadurch reduziert, daB Glieder zerlegt
oder in eins zusammengezogen werden. So findet Vince
a a+-b a -+2b a + 3b
~1- (r + 1) (r+ 1)(2r ) (2r + 1 )(3r+ 1) (3r + 1)(4r+ 1
= {[2ra - (r+ 2)b]S - ra + (r + 1)b}.
Bei der Annahme 2ra = (r + 2)b fillt S weg. So erhalt man z. B.
5 9 13 1
3 7 7.11 11.15 6
Andere, in ahnlicher Art summierte Reihen sind
m m - n m +- 2 n
(r 4+ 1)(2) r + - ) ( (r - 1 1)(4r 1) (4r+1)(5r+1)(6r 1)
ferner
tr + 1)(2r + 1)(3 + 1) (3r + 1t)(4r + 1)tr + 1)
m+ n + 2n -
(5 r + lt)(6r4-l+ 1)(7lr +- 1)
m 1 An + ',2r - 1)(3 r - 1)(4r 1) (4r 1 )(5r + 1)(6r- 1)?n + 2n
+ +.-..
(6r4- 1)(7r-+ 1)(8rt - 1)
Dann folgen solche, deren NeDner vier derartige Faktoren enthalt usw.
Durch Spezialisierung kann man auch mitunter das transzendente S
aus den Formeln entfernen. Man findet u. a.
1 1 1
_ _ _-+_ + + +,.,..=
1.(2r+) (2r+ 1))(4r+ 1) (4r+l) 6r + 1) 2r
Der zweite Teil beschaftigt sich mit der Summierung von Reihen,
die die Form haben
___L___ _ _ _
n(n +- m)... (n rm (n + -) )(n + 2 m).,( (n 4- [r - 1] m)
+(n + 2rm)(n + 3,t)... (n + [t- m) - "';
in der p, q, r,... eine arithmetische Reihe beliebiger Ordnung bilden
Von den erlangten Resultaten fiihren wir an
3 6 10 15 11
1.23. 4 23. 4 o 34 5 6 45- 6 +7 36
1 2 2 3 3. 4 4 1
~l-'~_- _ _ 3 _ _ _L. _ _ _ -= 1
1 3.5.7 3 5 7.9 5.7 911. 7. 9 -13 24
14 32 52 72 37
-.4.7.10 4 7 10 13 7 10t3.16 A 0 +03.1.169 226