Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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XX 1-schnitt XXI.

oben (S. 269) besproclienen Aufsatze des Verfassers. - Wir wollen
gleich hier eine dritte Abhandlung Lorgnas erwiihneu, trotzdem sie
erst 1784, also zwei Jahre spater erschienen ist. 1) In ilir handelt es
sich urn die Summierung der Reihe
1 - 1 1 -
a-K-Pb ~aK +b aK'+~b~'
wo K die Basis der hyperbolisehen Logarithmen bezeichnet. Sie wird
durch die Substitution
sinm Mz ~ c (K"' - K-mn,,w)/((O J-)
geleistet. Dadurch wird
Kx +1==2cKxsin x (Kx - 1)
und
Kx -1I2o2Kx sin x:(Kxt+ 1),
so daB in jedem Reihengoliede die Summe aus dem Nenuer in den
Ziihler gesehaift werden kaun. - Weiter beschiiftigt sich L orgna mit
anderen Reihen und erhiilt z. B. die Resultate
11 1 1 1 1
6.-12 -5 4.-4 -9 + 4.9 -9 + 416- 9~
1 5 1 1 1 1
12 - - -
6 5.-12 56 4.-4 -9 + 49 -9 4.16- 9+
Wir gehen nunmelir zu einer, ganz anderen Anschauungskreisen
angeho5rigen Arbeit von Laplace ilber.2) Bei semnen eingehenden
Forsehungen im Gebiete der Wahrscheinlichkeitsrechnung und ilirer
praktischen Verwertung bei national-8ikonomische Fragen war L a pIa ce
hiiufig auf Formein gesto~en, die zur Berechnung ganz ungeeignet
sich zeigten, weil selir gro~e oder sehr viele Zahien in sie eintraten.
ilandelt es sich z. B. bei hohem Werte des s urn die Berechnung von
2s.(2s -1) (2s -2)... (S +1)
I 2.3... s
so wird dies selbst bei der Benutzung von Logaritlimen selir miihselig. In diesem Falle hatte Stirling eine bequeme Formel zur angeniiherten Berechnung jenes Binomialkoeffizienten aufgestellt; in
anderen FMillen war, wie wir oben sahen, D. Bernoulli in Rhulicher
Weise vorgegaugen (vgl. 5. 231). Laplace greift hier die Frage
fundamental an und bringt sie zur L~iung. Seine umfaingreiche Ab..
') Memor. mat. fis. Soc. Ital. II, 1784, p. 210. H) ist. Acaci. Paris, 1782,
p. 1, und 1783, p. 423 (vgl. S. 231).