Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Reilien.

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hierin triigt er l u z j/- 1 ein und erhiilt
z sin z sin 2z sin3 z
1 2 + 3
In diese Formel setzt er zur Herleitung spezieller Resultate
72 7c
3 4
usw. Die Integration der Formel liefert
z2 Co o z cos 3z i
4 12 22+ 32P
wo =" 1 - + 1 ~ ist; dies wird mittels eines Kunst722
griffes 12- bestimmt. In entsprechender Art leitet L an d en die Formein
3.6.7
sinfl in-Z SfZ sinf —,. 2 1
22 + i2- —...( l 3- sin-z - 2z cos -z
und
3 5 7
Cos - Cos -Z Cos -z2
2 __2 2 +Z}1lj ~. 2 3
her. Aus diesem letzten Resultate, folgt
Z 2 1 1
- 3 2 -i7 22.32~2 32. 42
Im folgenden Jalire ver~ffentlichte Ed. Waring') seine,,Meditationes analyticae", deren drittes und viertes Bueb uns hier interessiert. Waring zeigt zum Teil schon moderne Ansclaauungen liber
Konvergenz und Divergenz; er sagt:,,streben in a ~ b ~ c + d ~ e, + ~
die Summen a +b, a +b +c, a +b + c+di... einer endlichen
Gr~Be zu, an die sie iniher herankommen als eine beliebig gegebene
Differenz, so konvergiert die Reihe". -,Die Reihe
1-L 1 ~ + 1
2n.3n 4n'
konvergiert fUr n > 1, und fuir n < 1 divergiert die Reihe. Ist fUr
beliebige, endliche x und n = xo das ainendlich ferne Glied a. -
daun und nur dann konvrergiert die Reihe ao + a, + a. + a. + —.
Wenn fUr unendlich groBes n der Quotient a,, a.+, kleiner (gr~ler)
als 1 ist, so divergiert (konvergiert) die Reilie." Wir stoBen also hier
auf das bekannte, Konvergenz-Kriterium. In die Reihen

1) Cantabrigiae 1781.