Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Reihen.

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Aus dem. Jahre 1779 stammt eine umfangreiche, das Gebiet der
Differenzenrechnung nahe beriihrende Arbeit von L aplace'1). 1st
y. ejine Funktion von x, so heil~t U~y + yj t +y2 t2 +.+yxtp +..
die erzeugende Funktion von yx Bezeichnen wir die Differenzen
-xl_ x= Ayx; Ayx~1 - tAyx = ~x... und setzen
Vy. =- ayx + byx+l + CYx+2 + Y.x+nl
1 1 1
daun ist -t~ die eregneFunktion von &iVky rIJsbeerzeugende ~ ~ Yxsondere geh6rt V'yx zur erzeugenden Funktion usa. Wird i negativ,
so treten Summen 2i statt der Differeinzen Ai! auf; u - -4 —)
ist die erzeugende Funktion von. Ilieraus folgt, daB Viy.
durch eiufache Entwicklung algebraiseher Funktionen gefunden werden
kann. Bildet man z. B. u a ((i + 4- 1 und entwickelt die
rechte Seite, so entsteht
Yx~i= —Yx +i~y 1.2 Yx + i 1i.-1) — 2)lWYy +
Dadureb, daB der Wert von yx i auf diese Reihen-Form gebraclit ist,
bat man die Mdglichkeit, ffir i gebrochene Werte einzufiihren; das
gibt also die Lo-sung der Interpolationsaufgabe ffir yx. Lap lace
leitet auf diese Art sowohl bekannte, wie auch neue Formeln her.In grof~er Ausfiihrlichkeit werden in den Nummaern III his VIII besonders wichtige F~ille behandelt. In Nummer IX folgat die Transformation von Reilien; ilire Besprechung wiirde uns zn weit fifihren.
-Audi auf Refihen von zwei Yariablen geht Laplace eim. Er
nimmt y"', als Funktion von u und v an und behandelt die,,ekurrorekurrenten" Reihen in iihnlicher Weise, wie er die von einer
Variablen behandelt hatte.
Die niichste, der Zeit wie dem. Stoffe nach zu erwiihnende Arbeit
stammt wieder von Euler 2). Sie beschiiftigt sich mit der Reihenentwicklung des Produktes,
Hierin haben auf der rechten Seite die Exponenten die Form
4-(3n2 + n);
uind der zugehbirige Koeffizient ist gleich (- 1)". Diese merkwflrdige Be1)ilst, de 1'Acad. Paris 1779 (1782), p. 207. 2)Act. Petrop. IV, 1780,
Pars I, p. 47.