Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XXI.

wird U (u) + a q1' + "2q200 +... + xl q010,, + "Ia 1aq0 ~... gesetzt, wo, (u) den Wert von u fMra a==CI= aC2= =0 angibt, so,
findet man dureli Differentiationen den Wert
Wenn dann etwa u =9 (cc + t, et, + tj, a2 + 4,... genommen wird,
so ist offenbar die letzte Klammergrd)Be gleich
dn n, + 2 U '\ ___j fl2 +q(t, t1...?dt i t1dt2n2..I= d t~dt2 n2.
man kommt somit auf die Taylorsehe Refihenentwicklung.
Nimmt man u als Funktion einer Grbl8e x an, die durch die
dx dx
Differentialgleiehung Z-d= definiert wird, in der z eine beliebige
Funktion von x bedeutet, dann kommt man auf iihnliche Art zu der
Lagran gesehen Reversionsformel. Nach derselben Methode lassen sich
viele andere, zur Differenzenrechnung gehb5rige Formein herleiten, die
bereits Lagrange arufgestellt') und zum Teil bewiesen hatte.
Das Studium der Lambertschen algebraischen Arbeiten fiihrte
Euler zu der Aufgabe, die Lambertsehe Refiheneutwicklung der
Wurzel einer trinomischen Gleichu-ng zn veriflzieren2).
Es muBte dabei folgendes gezeigt werden: Wenn x eine Wurzel
der *tri-nomiscben Gleichung (a - ) v = a c - x~ bedeutet, so,
gilt ffir jedes n die Gleichung
+ If n(n + a -F 33) (n + 2cc + 23) (n + 3a +p~) V4
Euler geht bei dem. Beweise folgendermaBein vor. Er betrachtet die
rechte Seite der zu beweisenden Gleichung als Funktioni von n, setzt
sie gleich S(n) und zeigt, daB S(n - /3) - S(n - a) == (a - 3) v S(n)
wird. Diese Funktionalgleichung liaift sich integrieren und ftihfrt zu
dem Schluf~ergebnis, daB S(n) = x" ist.
FUr a /3 gelit die trinomische Gleichung Uiber in log x == v X.
Man erhiilt fair a == 1
____ f+ 2 2 (11 )~ 2 (n __ ),
n 2! V-41 n
x = ~ij1 + ~' ~~v-F (nH+2)2 V2 + (V8 -F....
1-x 1! 2!
W)m~r. Acad. Berlin 1772. 2)Nov. Comment. Act. Petrop. X-X, 1776,
pars II, p. 29.