Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Reihen.

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are tgl are tg~ ~ aretg - = 2 aretang --- +I arectang-!-=.
benutzen. Diese Art von Zerlegungen wird eingehend untersucht; sie
hgingt von den Werten "+ ab.
1+u4- v
Fr. Maseres') wandelt die Reihe a - bx + cx2 - dx8-j- ex4 —.
in die Form a-itD u'D"'x
1-4~-x (I1+x) (1~+x')1+ X4) mtne
kannten D' D" D",.. urn; er will damit, wenn a > b > c > d >..
a-b> b-~c —d,.. a -2 b + c> b- 2 c4-d >. usf., und
x < 1 ist, eine raschere Konvergenz der Reihe erzielen. Fir die
D', D", D "',... findet er die Differenzen erster, zw eiter, dritter,... Ordnung
b-c, b-2c~d, b-3c-H3d-e,....
Von dieser Umformung macht er einae Anwendung auf die eben besprochene are tang-Refihe, sowie auf die Pendel-Sehwingungsdauer.
Eine zweite Arbeit 2) von F r. M a s e r e s liuft darauf hinaus, daB or fUr
X 11+X3,die harmonische Reihe x ~ - ~-f --- + -x- -F als Anniiherung
2 3
den Wert b[(1 - X) b - 1] bei sehr grol~en b benutzt. Far b setzt
der Verfasser der Abliandlung 1012 emn.
Bos sut gibt 8) oline theoretische Begriindung eine praktische
Anweisung fMr die angen~herte Umkehrung von Reihen. Emn Beispiel
-wird am besten sein Verfahren erlilutern: aus der Gleichung
t ==x + n sin x soil x dureli ei ne Reihe
x ~t +A sint +I B sin2t + O sin3t-1- D sin4t +
dargestelit werden. Boss ut brielit die Reihe nach den hingesebriebenen 5 Gliedern ab und bildet von der so entstehende-n, als angenilbert
richtig angenommenen Gleichung die 1., 3., 5. und 7. Ableitung; dieselben Ableitungen erhalIt er aus der vorgelegten Gleichung als
Tx - - =- i - n cosx -I- n2 cos~x - it cos3x + n4 eosx -.,
Wo auch die weiteren Glieder unterdriickt werden. Dann liefert t =x =0
vier lineare Gleichungen, die zur Berechnung von A, B, 0, D ausreichen.
In dein gleichen Bande der ilistoire de I'Acad. Paris4) findet sich
eine Abhandlung von Laplace, die sich mit Differenzenrechnung und
Mit Reihen besch~iftigt. Ist u eine Funktion von a, 7 a2...,' un d
1) Phil. Trans. London 1777, vol. 67, part I, p. 187. 2)Ibid. 1778, vol. 68,
p. 895. 3) list. de l'Acad. Paris 1777, p. 52. 4) Ibid., p. 99.