Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abscbnitt XXT.

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Zum Teil beweist E u 1 e r diese Formein, zum, Tell stMtA er sie nur
auf unstrenge Jnduktion.
Da frillier die Behandlung der Kettenbriiche mit der der Reihen
zusammengenommen wurde (1112,1 S. 693), so milssen wir uns, diesem
Prinzipe treu, jetzt zu einer Abhandlung von Lagrange wenden'), die
sicli auf die Verwertung der Kettenbriiche bei der Integration von
Differentialgleichungen beziehit. Die Verwertung von unendlicheil
Reihen zu diesem Zwecke ist niiherliegend; Lagrange benutzte sie
schon frillier; sie hat aber den U~beistand, daB audi rationale L6sungen
in die Form unendlicher Reihen treten. Das flillit bei Kettenbrilchen
fort. Ist eine Differentialgleichung zwiscien x und y gegeben, so bestimnmt Lagrange zun~ichst das Anfangsglied ~ der Eutwicklung
von y nach Potenzen vom x bei kleinen Werten dieser Variablen;
dann setzt er y -~ in die vorgelegte Gleiciung emn und erhulit
1 + y1
dadurci eine Gleichung zwischen x und y', diese wird in gleicier Weise
beliandelt; sie fifirt anf y, -' u'sf. Man kommt sonach
1F- Y2
ZU Y= /1 + ~1/1 + ~2 / 1 + 3/.- *.Die ~ treten in der Form
axa auf; der Exponent a wird durech eine Metiode bestimmt, die
als analytiscie Form des New to nscien Parallelogramms bezeichnet
werden kann; a wird durch Uisung einer i. A. linearen Gleichung
gefunden. Als Beispiel beliandelt Lagrange die Integration von
my + (1+ x) dy =0 und kommt zur Kettenbruch-Entwicklung
(1 + X)m = 1 + mix 1 (i-) + (n1x1 (-)
1.2 2 -3 2.-3
Darans ergeben sich weiter Kettenbrflche fair 1(1 + x), ex usw. Das
Beispiel 1 -(1.t x2) dy fllhirt auf
Wenden wir den Blick nach England auf die Ver6ffentlichungeii
in den Philosophical Transactions der Londoner Royal Society, so
stol~en wir auf drei Arbeiten Uiber Reihen, die der Zeit naci hierher geh~iren. Oh. Hutton 2) gibt bequeme, schnell konvergierende Entwicklungen zumn Zwecke der Berechnung von zr, die sich auf die Formnel
4X
arctangx - 1 3, -. stiltzen und die Zerlegungen
') MWm de Berlin 1776, p. 236. 2)Phil. Trans. London 1776, VI, part 11,
p. 476.