Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Reffien.

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sinq +siia~ + + snn -sinl q[ + cosq cosn q - cos (n + 1q
sinq-+- sin~q+..' + nq 1- cos 2q
bei der Annabme n ==c~ zu demn EulerscheD Resultate
Sinq +sina2q +..= 2 si
kommen ko~nne. Er fragt sich: Was ist fMr sill ocq was fUr Cos co q, usw.
zu setzen, wo doch kein bestimmter Wert mit Notwendigrkeit sich darbietet? Und er antwortet:,,Gemiii3 der Natur des Unendlichen muB emn
Wert genommen werden dureli die ForderUng, die gesunden metaphysiselien Grundsiitzen entspricht, daB alle mdgliehen Werte in der gleichen
Weise beriicksichtigt werden: der walire Wert muB daher gleich der
Summe aller mdglichen Werte, dividiert durcli ihre Anzahl, sein, also
= 0. Das ist rein metaphysisch, nicht geometrisch." In der Tat
geht dureli diese An-nahme der B o ss utsche Wert in den E ulIe r shen ifiber.
Diese Theorie berulit nach Bernoulli auf zwei Voraussetzungen; zuerst, daB die Glieder der unendlichen Reihe in Perioden geteilt werden
k~nnen, die sich unenadlich oft in gleicher Gliederfolge wiederholen;
zweitens, daB die Summe der Glieder einer, also jeder Periode gleich
0 ist. Die erste Arinalime ist bei den Reihen 2'(sinxq)'-, Z~(cos xq)'
erfUlit; denn w-enn auch q kein aliquoter Teil eines Vielfachen der
Peripherie ist,,,so kann doch die Periode als aus unendlich vielen
Gliedern bestehend angesehen werden". Die zweite Annabme ist
nicht immer erftllt, z. B. dann niclit, wenn (sin xo q)2, (cos ocq)-5 auftritt. Bernoulli stifitt sein Vorgehen auf die Analogie mit der
Wahi eines Mitteiwertes in der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
In einer unmittelbar sich anschlief~enden Abliandlung') behandelt
auch Euler, aber vron anderem Standpunkte aus die Summen
und (sin?)' + (sin 2wo)l + + (sin np9)'
(cos go) + (cos 2T9)1 +.+ (cos n ip)',
die er durch EinfUhrung von ExponentialgrdBen statt der Winkelfunktionen umformt und ffir I == 1, 2, 3, 4 wirklich hersteillt. Dann
(~ 9) gelit auci er zu n == ox Uber. Dabei wabrt er Bernoulli
gegenilber seine eigenen Anschauungen Uiber die unendlichen Reihen.,,Der beru~hmte Verfasser der vorstehen den Abliandlung gibt in diesem
Falle die Summen sehr geistvroll auf Gruind metaphysiseher fTb~erlegungen an, bei denen wir uns in der Analysis durchaus beruhigen
kdnjnten. Ich habe scion frfiher, auf allerstiirkste GriUnde gestu~tzt,

') Nov. Comment. Petrop. XVIII, 1773, p. 24.

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