Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Reihen.

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Der dritte Fall ist der, daB eine gewisse endliche Anzahl, voin* Funktionen dureli ihre Entwicklung die Reihe gibt; ihre Summe dividiert,durech ihre Auzahi, liefert den Wert der Reihe. - Volikommen unkiar sind die Darlegungen fiber Transformation divergenter Reihen in
konvergente.- Des weiteren integriert C on do rcet Differentialgleichungen wie dy 11-7i2 = dx oder Funktionalgleichnngen wie,(p (x + q) ==(p (x) in Reihenformn durech die Methode der unbestimmten
Koeffizienten, wobei er darauf aufmerksam maclit, daB die als, L~isnng
vorausgesetzten Reihen mit den zu bestimmenden Koeffizienten die
-ailgemeinste Form der Li~sung haben mubisen, wenu man die Aufgabe umfassend behandein will. Hat eine Differential- oder eine Funktional-Gleichung melirere, ihrer Form nach versehiedene L~sungen, so
rulissen alle diese Formen berflcksichtigt werden.
Wir knilpfen hieran die Erwiihnung, daB3 Condor cet 1770 einen
kurzen Beweis fair die oben, (S. 216, 258) besprochene L agran gesehe
Umkehrungsformel gab 1). Eine Verifikation des gleichen Satzes stammt
von Andr. Joli. Lexell2).
Wir kommen nun zn drei Arbeiten von Daniel Berno ulli3),
die gleiclifalls die Prinzipien der Reihentheorie behandei~n. Der Titel,der ersten lantet:,,De summationibus serierum quarundam incongrue
veris earumque interpretatione atque usu". Dieses,,incongrue verum"
ist emn charakteristischer Verlegenheitsbegriff, der sich gilicklicherweise nicht adiiquat ins Deutsche fibersetzen l~Jt. Reihensummen
kdnnen,in concreto" fal~selh,in abstracto" riclitig sen ndem sie
dureli legitime Schulisse hergeleitet werden. So kann die Gleichung
als- falseli aufgefal~t werden, da, bei fortlaufender Summierung immer
nur I oder 0 herauskommt; - aber audh als richitig, da aus der
richitigen Gleichung 4-=1-I _X +XI_ -X3 ~.. ffr x =1 j enes
Resultat entspringt; genan wie bei der, oline Determination als richitig angenommenen Gleichung - =cos x +cos 2x +cos 3x +. flr x =.
Setzt man endlich 1 -1 + ti-i +*.==, so wird 1 - S = S also
1
wieder S =.Unterstfltzt wird der Glaube an die Richtigkeit dieser
'zieht; die dritte mit der sofort zu besprechenden Daniel B ernoull is (vgl.
Band lIPI, S. 693).
') Miscell. Taurin. V, 1770, p. 7 -9. 2)Nov. Comment. Petrop. XVI pro
1771, p. 220. 3) Nov. Comment. Petrop. XVI pro 1771, p. 71; ibid. XVII pro
1772, P. 3; ibid. XVIII pro 1773, p. 3.
CANTrOR, Geechiclite der Mathematik IV. 18