Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Reihen.

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11E- 4AD + 4BC,... Euler sucht nun die Summe 2 von
Reihen zu bestimmen, die die Form haben
aAx2 + fBx4 + yCx6 + 6Dx8 +.,
wo a,, z y, 6,... gegebene GroBen sind. Nimmt man z. B.
a=c =7== =.... 1,
so folgt
2 = Ax2 + Bx4 + Cx6 +. ( 2 2L4 + 3x6 2 2..)
1.2 12 4
( 3!2 + - 2 otg
und daraus erhalt man A - B + C - D + * =
e- 1 -Ferner gibt dieselbe Formel durch Differentiation das Resultat
1 AX2 6 Bx + + log x
2 4 C6 - 2 sin x
Eine andere Quelle filr summierbare Reihen liefert die Formel
(Bd. III, S. 678 dieser Vorlesungen)
9s 9fXdx + X A ld B d3X C d5X
2S —2JXd+X+ -- d- -22 dx3 + 24 dx —
hier ist,,das summatorische Glied" X (ibid. S. 657) eine Funktion von
x, und S ist = — X, wo.die Summe fiber die Werte x=1, 2, 3,...x
erstreckt wird. Zuniachst setzt Euler X = - bei n > 1; dann wird
1 1 1
S= l -+ - + + + und man erhalt
2n 3n xn
- 1 - nA n(n + -) (n +2)B
+ O = + _
2x - (n- 1)n- 1 2xn+ 28Xn+3
n(n + 1). (n - 4)C +n(n - 1)... (n+6)D
2~ n + 5 27 x + 7
In dieser Formel ist 0 die Integrationskonstante, die durch besondere
Annahmen bestimmt wird. Fur n = 2 z. B. erhilt man
iir 4n =6 4 ergibt sich*
~~~~~~2x 28 ncS ~~~~~~+ 26 ~x
2x 2sx q- 23 ' 3! Bngx - 3 - 22X2 - 6^ 1 j
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