Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

262

Abschnitt XXI.

lung von (1 + [L)mn fair willktirliche m bezieht. Nach d'Alembert
konvergiert (divergiert) eine Reihe an einer Stelle, wenn der Betrag
jedes folgenden Gliedes keiejer (gri-Ber) ist, als der des vorhergehenden;
er bemerkt dabei aber ganz zutreffend, daB die Reiho im Unendlichen ko-nvergieren mtisse, urn richtige Resultate zu gebein, und gibt
fair diese eigentliche Konvergenz als Kriterium an, daB der Betrag
von ui kliejer als 1 sein mflsse;,,sonst liefert sie falsehe Resultate.,
auch wenn sie beiI I > 1 anffinglich konvergiert. Eine soiche anfiingliche Konvergenz kann sebr weit hinaus bestehen, z. B. bei
I +200-T1wo die Divergenz erst mit dem 300sten Gliede beginnt".
Er betrachtet eine Reihe als,vollkommen", wenn jire Glieder gleich
vom ersten an abniehmen, und wenn sie silmtfich das gleiche Vorzeichen haben. Er zeigt, wie man bei (1 + jm)m stots die erste Forderu-ng
1 3 1.
verwirklichen kaun, indem, man z. B. (1 + 1)2X = / - Setzt;
2 9
x x8 x
oder indem man bei der Reihe sin x =i! y- + --- far groBe
x besser (x - 2 n z) einsetzt, wo n so gewiihlt wird, daB der Kiammerwert m~gliclist klein ist.
Im Jahre 1769 beschiiftigte sich Euler mit der Summation von
Reihena, deren Koeffizienten mit den Bern oulli schen Zahien eng zu1 1 1 1
sammenhuingen1). Statt der Bernoullischen Zahien T- -
~ 6911...betrachtet Euler ihre Produkte mit bez. don Zahlen
66' 2730' 6'
6, 10, 14, 18, 22, 26,. 0,... or benennt diose Prodnkte Wf, 0, (S, Z,
sodaB
1 1 3 691
3' E 3' 8 051
wird, und goht von ihuen zu einor neuen Reiho von Zahien
1 22 24 26 28
Uiber. FU-r A, B, Ce,... bestohen zwei Sorten von Rekursionsforinein; einmal
1 = 1 A-2 1 B-1 A+3
1 4
3! I 9
und anderorsoits auch 5 B = 2 A 2 70-4AB, 9D==4AC+2B2,
')Nov. Comment. Petrop. XIV, pro 1769, p. 129-167. (Auf dem Titelblatt
steht irrtiimlich 1759.)