Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Reffien.

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folgen. - Wir beginnen mit einer Arbeit von John Landen'), der
1760 eine Methode angibt, gewisse Reihen zn sumamieren. Sie beruht auf der gliedweisen Integration einer Reihe, deren Sumrne bekannt ist, nebst zugeh~5riger Bestimmung der Integrationskonstanten.
Landen kntipft dabei an die bekaunte Entwicklung von
log (1 + x)
an. Er findet Beziehungen zwischen Reiheni von der Form
2 XI+X3 +X4
2xc 3 Y' 4 Y
bei versehiedenen x. Bezeichnet wird
2+ 3y + 4X 3K 5K 7
dann beweist L an den, was Euler schon auf anderem Wege in der,,ntroductio in analysin" hergeleitet hatte, daB P(1I) -6,- -(
7CS.~~~~~~~6
- "~ist. Weiter liefert er Forrneln wie
32.P(IV) = 2 l2 p(II)~+2 8 b4
3 3.-4.-5
(V)=~b2P(Jv) + - b4PU + -.3
3 34534-5-6.7b
worin b2 = - ist. Auch Reihen von der Gestalt
4
1 1 1 52 1
P232+32-52+572+ 16 2'
1 ~ ~1 132
12.32. 5 + 2.52.72 + 527.92 256 9
werden bestinmmt.
Eine groBe Anzahl von Abliandlungen melir oder weniger bedeutenden Inhalts Uiber Reihen lief'ert Euler in seiner UnermUdlichkeit und seiiiem nie versiegenden Ideenreichtum.
Durch einen gewissen 'geometrisch-asymptotischen ProzeB hatte
Descartes die Quadratur des Kreises konstruktiv geliefert. Euler
tibertriigt ihn ins Gebiet der Analysi s2) und gelaugt dabei zur Sum'nation der Reihe
tang p + -tang ~-Tp+ tang-(T + -2cotg 2 p,
')Ph. Tr. (London), Vol. 51; part II; p. 553. 2)Nov. Comment. Petrop.
VIII, pro 1760, 1761, p. 157.