Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XXI.

iinter der Theorie der Reihen oder an einer anderen Stelle besprochen
wird, wohin. sie dem Stoffe nach oder aus anderen Gri-nden geh~rt.
Ein Beispiel fuir das soeben Gesagte m~ge genhlgen: Lagrange
hat 17681) eine,,neue Methode" gegeben, urn die literalen Gleichungen
mit Hilfe von Reihen aufzuldsen. Dabei gelangt er, ohne einen Beweis fur sein Resultat zu geben, Zn. der wichtigen Forinel, die als,Lagrangesche Umikehrungsformel" seinen Namen. trii'gt. Er bringt,die Gleichung mit der Unbekannten x auf die Form a - x + go (x) = —0.
Ist dann p eine Wurzel dieser Gleichung, ip (p) eine Funuktion von
_p und 4('(x) die Ableitung von 4, (x), dann wird nach seiner Formel
(P) (X) + V (X) (p (x d [ii/ (x) cp (x)j
4,(p) 4,(x + 4,(x~q~x) + dxd2L[I'(X) qp(X) 3] ~: '[V'(X) T(X) 4] +**
+ 3! dx 4! dx
falls nach dem Differenzieren x ilberall durch a ersetzt wird. Diese
Formel geh~jrt ilirem Wesen nach zur Infinitesimalrechnung, ilirer
Anwendung und Entstehung nach zur Algebra, ihrer Form nach zur
Refihentheorie und ihrer Herleitung nacli (wie wir frhther S. 216
sahen) auch wohl zur Kombinatorik. - Dies ruag gleiehzeitig zur
Erkliirung daftir dienen, daB wir die, auf den binomischen Satz bezugliehen Untersuchungen vereint an den Beginun der Bespreehung
hiber die Kombinatorik gesetzt haben; daB dort auf die Potenzierung,des Polynoms und auf die formelle Umkehrung der Reihen eingegangen
wurde.
Was die Grundlegung der Theorie der unendlichen Reihen betrifft, so kdnnen wir uns, ebenso wie im 109. Kapitel des dritten
Bandes der I~berzeugrung nicht versehlie~en, daB bei auBerordentlich
angewaclisenem Reihenmaterial die BegriUndung der Reihentheorie
und zwar besonders die Begriffe von Konvergenz und Divergenz in
Hinsicht auf Strenge noch fast alles zu. wilusehen lassen. Selbst
Gleistern wie Euler und. Daniel Bernoulli war es nicht vergdjnnt,
sich zu korrekten Aunschauungen durelizuarbeiten; sie gerieteii auf die
seltsamsten Abwege.
Hinsielitlich des Stoffes mag gleich bier erwiihnt, werden, daB in
unserer Epoche die Refihen, die nach dem Sinus oder dem Kosinus
der Vielfachen eines Winkels fortsehreiten, besonders die Aufmerksamikeit der Mathematiker auf sich ziehen und emn bevorzugtes Objekt
der Untersucliungen werden: wir stehen eben in der vorbereitenden
lEpoche ffir die Entdeckungen Fouriers.
Es m6ge nun die Besprechung der einzeluen, wiclitigeren Arbeiten
') Histoire de l'Acad. de Berlin 1768, p. 2051, insbesondere p. 274.