Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Wahrscheinlichkeitsrechnung.25

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Ansicliten der Majoritiit der Abstimmenden direkt entgegengesetzt
sein kaiin. Condorcet war nicht der erste, der auf diese Komplikationen hinwies; Jean Charles de Borda hatte semnen Ideen
dariiber schon 1770 vor der Akademie Ausdruck gegeben. In der
Histoire de l'Acad.... 'a Paris wurde 1781 eine von ilim verfaBte,
darauf bezilgliche Abhandlung gedruckt (S. 617: Me'moire suir les
tQlections au scrutiin). Das folgende Beispiel mag die Schwierigkeiten, die bei der Wabi auftreten k~innen, erliiutern. Von den drei
Kandidaten A, B, C soil durch Abstimmung einer gewahlt werden.
Es sind 12 Wilbler vorhanden, die einzeln die drei Kandidaten in
folgende Reihenfolge der Wllrdigkeit bringen
Wilhler I II III I V VI V11I VII IXxi XI1XII
A A A A A B B B B C C C
B B C1 c C C C CA B B
c C B B B A 1A A A jB A A
Hat jeder der Wiihier i-ur einem. der Kandidaten seine Stimine zu
geben, so erihilt A 5 Stimmen, B 4 und C 3; somit ist A gewiihlt.
Legft man aber der dritten Stelle das Gewiclit a bei, der zweiten das
{4ewicht ac + 3 mid. der ersten das Gewicht a + /3+ y, so besitzt A das
Gewicht 12 c + 6( 4- b y; B das Gewiclit 12 a + 8/3 4 4y und. C endlich das Gewich t 1 2 cc + 10 /3 + 3 y. Je nacli den Werten, die cc, /3, y
erhalten, kaun man A oder C an erste Stelle bringen. So mi!Bte
fihi /3 = y der Kandidat C gew~thlt sein. /3 = y ist Bordas Annahme,
die offenbar ihrer Willkilr halber die Schwierigkeit niclit beseitigt,. Cond~orcet beschaftigt sich eingehender mit der Hebung der Schwierigkeit,
Uidem er die Walirseheinliclikeit der Richtigkeiten der Gruppierungen
heranziehit. Aber audi er scheitert an der Lbsung des voilkommenen
Widerspruches, der bei solehen Abstimmungen auftreten kanin; wenn.
z~ich z. B. bei der Abscbiitzung von je 2 der 4 Kandidaten unter sich
eine Majoritdt ffir jede der 6 Anordnungen findet, in denen das
> Zeichen die IVberlegenheit andeuten soil:
A>B; A>C; A>-D; B>C; D>B; 0>1),
so sind die drei letzteD Beziehungen unverein bar.
Der zweite Teil des Essay fiefert eine Urnkehrnng der Aufgaben
(les ersten Teils; dort waren v, q, qi- bekannt, und es wurden VF und.
3At gesuclit. Hier nim~mt man die letzten GrtiBen als bekannt an und
bestimmnt aus ihuen die ersten. Urn diesem Zwecke zu gentigen,
werden die Formeln des ersten Teils niiherunagsweise aufgelbst. Der
Verfasser beschaiftigt sich dann eingehend mit philosophischen Fragen
fiber die Grundgesetze der Wahirscheinlichkeitsrechnung und wiederholt seine Kritik S. 223, 244 der Buffonschen Annahmen.