Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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250 ~~~~~~Abschnitt XXI.

Auf melir als drei Beobachtungen geht die Abhandlung bei der
Sch-wierigkeit der Rechnungen niclit emn.
Audi in seinem,Melmoire sur les probabilite's" vom Jalire 1785
(ilistoire de l'Acad... Paris, 1778) behiandelt, Laplace diese Fragen.
Er l8st dabei zuerst das folgende Problem:,,Es seien n positive,
stetige Variable t1, t2,..., t2. mit der festen Sumnme s gegebena. Das
Gesetz der Wahrscheinlichkeit ffur das Eintreffen jedes einzelnen t( e
sei bekannt. Es soil die Summe der Produkte aller Werte einer gegebenen Funktion *P(4l, t2,.., tj~ in die Wahrscheinlichkeit des Auftretens des betreffenden Wertes ermittelt werden." Damit huingt aufs
engste das, wie wir S. 248 sahen, scion von La grange behandelte Problem
zusammen:,,Die Wairscheinlichkeit dafiir zu finden, daB die Summe
der Fehler bei mehreren Beobachtungen zwischen gegebenen Grenzen
liegt, wenn das Feilergesetz dureli eine rationale granze Funktion gegeben 1st." Auf die Entdeckung dieses Feilergesetzes geht nun L aplace (1. c. S. 254; art. XII) aus. Er ninimt an, daB keine Feiler
von ibierem absoluten Betrage als a vorkommen; ferner daB gleich
groBe positive mid negative Febler mit gleich groBer Wahrscieinlichkeit auftreten; endlich daB die Wahrscieinlichkeit bei stetig wacisender Fehlergr5Be stetig abnirnmt. Hlierauf teilt er die Strecke, auf der
die n Feiler als Abezissen repriisentiert werden, von 0 bis a in it
gleiche Teile und erricitet in der Mitte eines jeden Teils emn Lot, das
die entsprecbende, zur Abszisse gei~rende Wahrscheinlichikeit darstellt. IDa die Fehlerkurve mit der Achse eine FRiche von konstantem
Inhalte 1 bildet, so muB auch die Summe der errichteten Ordinaten
konstant sein: diese Summe denkt sich jetzt Laplace auf alle mdg9 -lichen Weisen in n ihrer Gr6Be nach. geordnete Lingenteile zerlegt;
dann entspricht jeder solcien Zerlegung einie Fehierkurve oder genauer emn Fehlerpolygon. Von allien m6glichen, so konstruierbaren
wird emn,mittleres" Polygon genommen; und diese Anunaime wird
durci die Gleichberechtigun g aller konstruierten Fehlerkurven begriUndet. LiiBt man dann n ins Unendliche wacbsen, so gelangt man
zu der Kurve, die das Fehlergesetz mit der gr~fBten Wahrscieinilichkeit darstellt. Laplace findet fdr diese Kurve die Gleiciung
y:= - log - -.
Dabei ist jedoci anznneimen, daB fflr negative x in den Nenner des
Loga~rithmus-Arguments, die entgegengesetzt gleiche positive Grbie
eingetragen wird. Uber die bei der Abszisse x =- 0 auftauciende
Schwierigkeit gyeit Laplace hinweg; ebensowenig st~rt ihn der Umstand, daB flir x > a reelle negative y auftreten.
Die erialtene L~sung benutzt Laplace am Schiusse, seiner uiml