Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Wahrscheinlichkeitsrechnung.24

249

geordneten Beo'bachtungen sind gegeben; x ist die Eitfernung des
Mittelpunktes von A; daiin ist die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitigen Vorkommnens der Feller x, x - a, x - b,..proportional zu
dem. Produkte V~r2_ 2x. J/r2 - (X -a /r2 _ (x - b)2... = }/Q.
Nun wird folgender SchluB gewagt: Da diese Fehier ja wirklich eingetroffen sind, so ist ihre Wahrscheinlichkeit, wie Bernoulli behauptet, emn Maximum; man findet also x dadurch, daB man Q zn
einem. Maximum macht. Das filhirt bei n Beobadlitungen auf eine
Gleichungr des Grades (2 n - 1). Bei n == 1 und 2 liefert diese
das arithinetische Mittel; bei it = 3 schon nicht mehr.
In semnen Benmerkungen zur eben besprochenenDAbhandlung greift,
E uIe r (ibid. p. 24-33) die eben hervorgehobene gewagte Behauptung
D. B e rnounllis an. Er selbst umgeht durch eine geistreiche Wendung
die Auflisung der Gleichung des Grades (2nr - 1) und zeigt, wie die
einer Gleiclung dritten Grades in alien Fiillen ausreiclit.
Andh L aplace nimmt in der oben erwa~hnten Untersuchung
(MWmoires~ de I'Acad. des Sciences, Paris VI [1774], p. 621) Steilung zu der
Frage tiach dem arithmetischen Mittel aus einer Reihe von Beobachtungen. Er erkldrt (p. 639), die Annahme, die auf das arithlmetische
Mittel fillirt, sei,,weniig natfirlich" und hgdlt es fair notwendig, bei
feineren -Untersuchungen von einer anderen Methode Gebrauch zu
machen. L ap I a ce setzt die Wahrscheinlichkeit eines Fehiers von
der Grd8e x gleich f(x); dabei fordert er, daB f(-I x) f(- x) sei;
ferner daB die x-Achse eine Asymptote der Kurve y f(x) werde,
und daB die von der x-Achse und der Kurve y =- tf(x) begrenzte Fliche
d ie G riB e 1 besitze. Mit Hillfe einer ganz willktirlichen' Annahme
wird f (x) == ' gefunden. Merkwiirdigerweise Utbersielit La -
place dabei, daB die erste seiner, ftir f(x) aufgesteilten drei Forderungen durch Y 2 re " nicht befriedigt wird. Zur weiteren Behaudlung der Frage verwendet er das von ihm, aufgestellte Priuzip fiber
(hie Wahrscheinljchkeit der Ursaclen und kommnt ant einem, schon
fair drei Beobachtungen recht komplizierten Wege zum. Ziele. Die
Bestimmung des Mittels ist selbst in diesem, so einfachen Falle von der
Ldsung einer Gleichung 151e Grades abhiingig. Einer kleinen von
Laplace berechneten Tafel entnehmen wir folgende Resultate: Sind
dlie drei beobacliteten Punkte A, B, C; wird stets AB 1= gesetzt
und daina BC q; hat endlich das Lap lacesele Mittel M die Entfernung AM =x von A, so ergibt sich furi
qo;0,;0,2;0,3;0,4;0,5;0,6;0,7;0,8;0,9;1,0
6,86; 0894;0,96;,932; 0,944; 0,965; 0,966; 0,976; 0,984; 0,992; 1
CANTOR, Geschichte der Mathematik WV. 17